Zitterbewegung - Zitterbewegung

In der Physik , die Zitterbewegung ( „nervöse Bewegung“ in Deutsch ist) die vorhergesagte schnelle oszillierende Bewegung der Elementarteilchen , dass obey relativistische Wellengleichungen . Die Existenz einer solchen Bewegung wurde erstmals 1928 von Gregory Breit und 1930 von Erwin Schrödinger als Ergebnis der Analyse der Wellenpaketlösungen der Dirac-Gleichung für relativistische Elektronen im freien Raum diskutiert , bei denen eine Interferenz zwischen positiver und negativer Energie Zuständeerzeugt eine scheinbare Schwankung (bis zur Lichtgeschwindigkeit) der Position eines Elektrons um den Median mit einer Kreisfrequenz von 2 mc ²/ℏ, oder ungefähr 1,6 × 10 ²¹ Radiant pro Sekunde. Für das Wasserstoffatom kann die Zitterbewegung als heuristischer Weg zur Herleitung des Darwin-Terms herangezogen werden , einer kleinen Korrektur des Energieniveaus der s-Orbitale .

Theorie

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Die zeitabhängige Dirac-Gleichung wird geschrieben als

${\displaystyle H\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial\psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)}$,

wobei die (reduzierte) Plancksche Konstante , wird die Wellenfunktion ( Bispinor ) eines fermionischen Partikel spin-½ , und H ist die Dirac - Hamilton - Operator eines freien Teilchen : ${\displaystyle \hbar}$${\displaystyle \psi (\mathbf{x},t)}$

${\displaystyle H=\beta mc^{2}+\sum_{j=1}^{3}\alpha_{j}p_{j}c}$,

wo ist die Masse des Teilchens, ist die Lichtgeschwindigkeit , ist der Impulsoperator und und sind Matrizen im Zusammenhang mit den Gamma-Matrizen , wie und . ${\textstyle m}$${\textstyle c}$${\textstyle p_{j}}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \alpha_{j}}$ ${\textstyle \gamma_{\mu}}$${\textstyle \beta =\gamma _{0}}$${\textstyle \alpha_{j}=\gamma_{0}\gamma_{j}}$

Im Heisenberg-Bild gehorcht die Zeitabhängigkeit einer beliebigen Observablen Q der Gleichung

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial Q}{\partial t}}=\left[H,Q\right].}$

Insbesondere ist die Zeitabhängigkeit des Positionsoperators gegeben durch

${\displaystyle {\frac {\partial x_{k}(t)}{\partial t}}={\frac {i}{\hbar}}\left[H,x_{k}\right]=c\ alpha_{k}}$.

wobei x _k ( t ) der Positionsoperator zum Zeitpunkt t ist .

Die obige Gleichung zeigt, dass der Operator α _k als die k- te Komponente eines "Geschwindigkeitsoperators" interpretiert werden kann .

Beachten Sie, dass dies impliziert, dass

${\displaystyle \left\langle \left({\frac {\partial x_{k}(t)}{\partial t}}\right)^{2}\right\rangle =c^{2}}$,

als ob die "root mean square speed" in jeder Raumrichtung die Lichtgeschwindigkeit wäre.

Um die Zeitabhängigkeit zu α _k hinzuzufügen , implementiert man das Heisenberg-Bild, das besagt, dass

${\displaystyle \alpha_{k}(t)=e^{\frac {iHt}{\hbar}}\alpha_{k}e^{-{\frac {iHt}{\hbar}}}}$.

Die Zeitabhängigkeit des Geschwindigkeitsoperators ist gegeben durch

${\displaystyle \hbar {\frac {\partial\alpha_{k}(t)}{\partial t}}=i\left[H,\alpha_{k}\right]=2\left(i\ gamma _{k}m-\sigma_{kl}p^{l}\right)=2i\left(p_{k}-\alpha_{k}H\right)}$,

wo

${\displaystyle \sigma_{kl}\equiv {\frac{i}{2}}\left[\gamma_{k},\gamma_{l}\right].}$

Da sowohl p _k als auch H zeitunabhängig sind, kann die obige Gleichung leicht zweimal integriert werden, um die explizite Zeitabhängigkeit des Positionsoperators zu finden.

Zuerst:

${\displaystyle \alpha_{k}(t)=\left(\alpha_{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)e^{-{\frac {2iHt}{ \hbar}}}+cp_{k}H^{-1}}$,

und schlussendlich

${\displaystyle x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{\tfrac {1}{2}}i\hbar cH^ {-1}\left(\alpha_{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)\left(e^{-{\frac {2iHt}{\hbar}}}- 1\rechts)}$.

Der resultierende Ausdruck besteht aus einer Anfangsposition, einer zeitproportionalen Bewegung und einem Oszillationsterm mit einer Amplitude gleich der reduzierten Compton-Wellenlänge . Dieser Schwingungsterm ist die sogenannte Zitterbewegung.

Interpretation als Artefakt

In der Quantenmechanik verschwindet der Begriff der Zitterbewegung, wenn man Erwartungswerte für Wellenpakete nimmt, die vollständig aus positiven (oder vollständig aus negativen) Energiewellen bestehen. Die relativistische Standardgeschwindigkeit kann durch eine Foldy-Wouthuysen-Transformation wiederhergestellt werden , wenn die positiven und negativen Komponenten entkoppelt sind. Somit kommen wir zu der Interpretation der Zitterbewegung als durch Interferenz zwischen positiven und negativen Energiewellenkomponenten verursacht.

In der Quantenelektrodynamik werden die negativen Energiezustände durch Positronenzustände ersetzt , und die Zitterbewegung wird als das Ergebnis der Wechselwirkung des Elektrons mit sich spontan bildenden und vernichtenden Elektron-Positron- Paaren verstanden .

In jüngerer Zeit wurde festgestellt, dass es sich bei freien Teilchen nur um ein Artefakt der vereinfachten Theorie handeln könnte. Zitterbewegungen erscheinen als Folge der "kleinen Komponenten" des Dirac-4-Spinors, aufgrund eines kleinen Teils von Antiteilchen, das in die Teilchenwellenfunktion für eine nichtrelativistische Bewegung eingemischt ist. Es erscheint nicht in der korrekten zweiten quantisierten Theorie , oder besser gesagt, es wird durch Verwendung von Feynman-Propagatoren und QED aufgelöst . Dennoch ist es ein interessanter Weg, bestimmte QED-Effekte heuristisch aus dem Einzelpartikelbild zu verstehen.

Experimentelle Simulation

Die Zitterbewegung eines freien relativistischen Teilchens wurde nie direkt beobachtet, obwohl einige Autoren glauben, Beweise für seine Existenz gefunden zu haben. Es wurde auch zweimal in Modellsystemen simuliert, die Analoga der kondensierten Materie des relativistischen Phänomens liefern. Das erste Beispiel aus dem Jahr 2010 platzierte ein gefangenes Ion in einer Umgebung, in der die nicht-relativistische Schrödinger-Gleichung für das Ion dieselbe mathematische Form wie die Dirac-Gleichung hatte (obwohl die physikalische Situation anders ist). 2013 wurde es dann in einem Aufbau mit Bose-Einstein-Kondensaten simuliert .

Andere Vorschläge für Analoga kondensierter Materie umfassen Halbleiter-Nanostrukturen, Graphen und topologische Isolatoren .

Siehe auch

• Casimir-Effekt
• Lammschicht

Verweise

Weiterlesen

• Messias, A. (1962). "XX, Abschnitt 37" (pdf) . Quantenmechanik . ii . S. 950–952. ISBN 9780471597681.

Externe Links

• Zitterbewegung in New Scientist
• Geometrische Algebra in der Quantenmechanik