Young-Laplace-Gleichung - Young–Laplace equation

Optische Tensiometer verwenden die Young-Laplace-Gleichung, um die Oberflächenspannung der Flüssigkeit automatisch basierend auf der Form der hängenden Tröpfchen zu bestimmen.

In der Physik , die Young-Laplace - Gleichung ( / l ə p l ɑː s / ) ist eine nicht lineare partielle Differentialgleichung , die das beschreibt Kapillardruck Differenz über die Grenzfläche zwischen zwei anhalt statischen Flüssigkeiten , wie Wasser und Luft , aufgrund des Phänomen die Oberflächenspannung oder Wandspannung , obwohl die Verwendung des letzteren ist nur anwendbar, wenn unter der Annahme , dass die Wand sehr dünn ist. Die Young-Laplace-Gleichung bezieht die Druckdifferenz auf die Form der Oberfläche oder Wand und ist von grundlegender Bedeutung bei der Untersuchung statischer Kapillaroberflächen . Es ist eine Aussage über den normalen Spannungsausgleich für statische Flüssigkeiten, die an einer Grenzfläche aufeinandertreffen, wobei die Grenzfläche als Oberfläche behandelt wird (Dicke Null):

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\Delta p&=-\gamma \nabla \cdot {\hat{n}}\\&=-\gamma H_{f}\\&=-\gamma \left({\ frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)\end{ausgerichtet}}}$

wo ist der Laplace-Druck , die Druckdifferenz über die Flüssigkeitsgrenzfläche (der Außendruck minus dem Innendruck), ist die Oberflächenspannung (oder Wandspannung ), ist die Einheitsnormale, die aus der Oberfläche zeigt, ist die mittlere Krümmung , und sind die Hauptkrümmungsradien . Beachten Sie, dass nur Normalspannungen berücksichtigt werden, da gezeigt wurde, dass eine statische Grenzfläche nur ohne Tangentialspannung möglich ist. ${\displaystyle \Delta p}$${\displaystyle\gamma}$${\displaystyle {\hat {n}}}$${\displaystyle H_{f}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$

Die Gleichung ist nach Thomas Young benannt , der 1805 die qualitative Theorie der Oberflächenspannung entwickelte, und Pierre-Simon Laplace , der im folgenden Jahr die mathematische Beschreibung fertigstellte. Es wird manchmal auch die Young-Laplace-Gauß - Gleichung genannt, als Carl Friedrich Gauß die Arbeit von Young und Laplace im Jahr 1830 vereinigt, wobei sowohl die Differentialgleichung und Randbedingungen abgeleitet Johann Bernoulli ‚s virtuelle Arbeitsprinzipien.

Seifenfilme

Wenn die Druckdifferenz null ist, wie bei einem Seifenfilm ohne Schwerkraft, nimmt die Grenzfläche die Form einer minimalen Oberfläche an .

Emulsionen

Die Gleichung erklärt auch die Energie, die benötigt wird, um eine Emulsion herzustellen . Um die kleinen, stark gekrümmten Tröpfchen einer Emulsion zu bilden, ist zusätzliche Energie erforderlich, um den großen Druck zu überwinden, der aus ihrem kleinen Radius resultiert.

Der für kleinere Tröpfchen größere Laplace-Druck bewirkt die Diffusion von Molekülen aus den kleinsten Tröpfchen einer Emulsion und treibt die Emulsionsvergröberung über die Ostwald-Reifung an .

Kapillardruck in einem Röhrchen

Kugelmeniskus mit Benetzungswinkel kleiner als 90°

In einem ausreichend schmalen (dh mit niedriger Bindungszahl ) Rohr mit kreisförmigem Querschnitt (Radius a ) bildet die Grenzfläche zwischen zwei Flüssigkeiten einen Meniskus , der ein Teil der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius R ist . Der Drucksprung über diese Fläche hängt mit dem Radius und der Oberflächenspannung zusammen γ um

${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma}{R}}.}$

Dies kann gezeigt werden, indem die Young-Laplace-Gleichung in Kugelform geschrieben wird, mit einer Randbedingung des Kontaktwinkels und auch einer vorgeschriebenen Höhenrandbedingung, beispielsweise am Boden des Meniskus. Die Lösung ist ein Teil einer Kugel, und die Lösung existiert nur für die oben gezeigte Druckdifferenz. Dies ist wichtig, da es keine andere Gleichung oder kein anderes Gesetz gibt, um die Druckdifferenz zu spezifizieren; die Existenz einer Lösung für einen bestimmten Wert der Druckdifferenz schreibt dies vor.

Der Radius der Kugel ist nur eine Funktion des Kontaktwinkels , , der wiederum von den genauen Eigenschaften der Flüssigkeiten und dem Behältermaterial abhängt, mit dem die fraglichen Flüssigkeiten in Kontakt treten/aneinander stoßen:

${\displaystyle R={\frac{a}{\cos\theta}}}$

damit kann die Druckdifferenz geschrieben werden als:

${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma\cos\theta}{a}}.}$

Abbildung des kapillaren Anstiegs. Rot = Kontaktwinkel kleiner als 90°; blau=Kontaktwinkel größer als 90°

Um das hydrostatische Gleichgewicht aufrechtzuerhalten , wird der induzierte Kapillardruck durch eine Höhenänderung h ausgeglichen , die positiv oder negativ sein kann, je nachdem, ob der Benetzungswinkel kleiner oder größer als 90° ist. Für eine Flüssigkeit der Dichte ρ:

${\displaystyle \rho gh={\frac {2\gamma\cos\theta}{a}}.}$

— wobei g die Erdbeschleunigung ist . Dies ist manchmal als das Jurin-Gesetz oder die Jurin-Höhe bekannt, nach James Jurin, der den Effekt 1718 untersuchte.

Für ein wassergefülltes Glasrohr in Luft auf Meereshöhe :

— und damit ist die Höhe der Wassersäule gegeben durch:

${\displaystyle h\approx {{1,4\times 10^{-5}} \over a}}$ m .

Für ein 2 mm breites Rohr (1 mm Radius) würde das Wasser also 14 mm ansteigen. Bei einem Kapillarröhrchen mit einem Radius von 0,1 mm würde das Wasser jedoch 14 cm (etwa 6 Zoll ) ansteigen .

Kapillarwirkung im Allgemeinen

Im allgemeinen Fall besteht für eine freie Oberfläche und wo ein aufgebrachter "Überdruck" p an der Grenzfläche im Gleichgewicht herrscht, ein Gleichgewicht zwischen dem aufgebrachten Druck, dem hydrostatischen Druck und den Wirkungen der Oberflächenspannung. Die Young-Laplace- Gleichung lautet:

${\displaystyle \Delta p=\rho gh-\gamma\left({\frac{1}{R_{1}}}+{\frac{1}{R_{2}}}\right)}$

Die Gleichung kann sein nicht-dimensions hinsichtlich ihrer charakteristischen Längenskala, die Kapillarlänge :

${\displaystyle L_{c}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}}},}$

— und charakteristischer Druck :

${\displaystyle p_{c}={\frac {\gamma }{L_{c}}}={\sqrt {\gamma\rho g}}.}$

Für sauberes Wasser mit Standardtemperatur und -druck beträgt die Kapillarlänge ~2 mm .

Die dimensionslose Gleichung lautet dann:

${\displaystyle h^{*}-\Delta p^{*}=\left({\frac {1}{{R_{1}}^{*}}}+{\frac {1}{{R_{ 2}}^{*}}}\right).}$

Somit wird die Oberflächenform nur von einem Parameter bestimmt, dem Überdruck des Fluids, p ^* und der Maßstab der Oberfläche wird durch die Kapillarlänge gegeben . Die Lösung der Gleichung erfordert eine Anfangsbedingung für die Position und die Steigung der Oberfläche am Startpunkt.

Bei einem Überdruck von Δp ^* =3 und Anfangsbedingung r ₀ =10 ⁻⁴ , z ₀ =0, dz / dr =0 . entsteht ein hängender Abfall

Eine Flüssigkeitsbrücke entsteht bei einem Überdruck von Δp ^* =3,5 und Anfangsbedingung r ₀ =0,25 ⁻⁴ , z ₀ =0, dz / dr =0

Achsensymmetrische Gleichungen

Die (dimensionslose) Form r ( z ) einer axialsymmetrischen Fläche kann durch Ersetzen der Hauptkrümmungen durch allgemeine Ausdrücke ermittelt werden , um die hydrostatischen Young-Laplace-Gleichungen zu erhalten :

${\displaystyle {\frac {r''}{(1+r'^{2})^{\frac {3}{2}}}}}-{\frac {1}{r(z){\sqrt {1+r'^{2}}}}}=z-\Updelta p^{*}}$

${\displaystyle {\frac {z''}{(1+z'^{2})^{\frac {3}{2}}}}}+{\frac {z'}{r(1+z' ^{2})^{\frac {1}{2}}}}=\Delta p^{*}-z(r).}$

Anwendung in der Medizin

In der Medizin wird es oft als Laplace-Gesetz bezeichnet , das im Zusammenhang mit der Herz-Kreislauf-Physiologie und auch der Atemphysiologie verwendet wird , obwohl die letztere Verwendung oft falsch ist.

Geschichte

Francis Hauksbee führte 1709 einige der frühesten Beobachtungen und Experimente durch und diese wurden 1718 von James Jurin wiederholt, der beobachtete, dass die Höhe der Flüssigkeit in einer Kapillarsäule nur von der Querschnittsfläche an der Oberfläche abhängt, von keiner anderen Abmessungen der Säule.

Thomas Young legte die Grundlagen der Gleichung in seinem 1804 erschienenen Aufsatz An Essay on the Cohesion of Fluids, in dem er die Prinzipien des Kontakts zwischen Fluiden (zusammen mit vielen anderen Aspekten des Fluidverhaltens) beschreibend darlegte. Pierre Simon Laplace knüpfte in Mécanique Céleste mit der oben gegebenen formalen mathematischen Beschreibung an, die symbolisch die von Young beschriebene Beziehung wiedergab.

Laplace akzeptierte die von Hauksbee in seinem Buch Physico-mechanical Experiments (1709) vertretene Idee , dass das Phänomen auf eine Anziehungskraft zurückzuführen ist, die in empfindlichen Entfernungen nicht wahrnehmbar war. Der Teil, der sich mit der Einwirkung eines Festkörpers auf eine Flüssigkeit und der gegenseitigen Einwirkung zweier Flüssigkeiten befasst, wurde nicht gründlich ausgearbeitet, sondern schließlich von Carl Friedrich Gauß vollendet . Franz Ernst Neumann (1798-1895) ergänzte später einige Details.

Verweise

Literaturverzeichnis

• Maxwell, James Schreiber ; Strutt, John William (1911). "Kapillarwirkung"  . In Chisholm, Hugh (Hrsg.). Encyclopædia Britannica . 5 (11. Aufl.). Cambridge University Press. S. 256–275.
• Batchelor, GK (1967) Eine Einführung in die Fluiddynamik , Cambridge University Press
• Jurin, J. (1716). "Ein Bericht über einige Experimente, die vor der Royal Society gezeigt wurden; mit einer Untersuchung der Ursache des Aufstiegs und der Suspension von Wasser in Kapillarröhrchen" . Philosophische Transaktionen der Royal Society . 30 (351–363): 739–747. doi : 10.1098/rstl.1717.0026 . S2CID  186211806 .
• Tadros TF (1995) Surfactants in Agrochemicals , Surfactant Science series, Bd. 54, Dekker

Externe Links

Messung der Oberflächenspannung mit der Young-Laplace-Gleichung