Weibull-Verteilung - Weibull distribution

Weibull (2-Parameter)

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Verteilungsfunktion
Parameter	${\displaystyle \lambda\in (0,+\infty)\,}$ Skala Form ${\displaystyle k\in (0,+\infty)\,}$
Unterstützung	${\displaystyle x\in [0,+\infty)\,}$
PDF	${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda}}\left({\frac {x}{\lambda}}\right)^{k-1}e^ {-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$
CDF	${\displaystyle {\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda)^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$
Bedeuten	${\displaystyle \lambda\,\Gamma (1+1/k)\,}$
Median	${\displaystyle \lambda (\ln 2)^{1/k}\,}$
Modus	${\displaystyle {\begin{cases}\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{1/k}\,&k>1\\0&k\leq 1\end{cases }}}$
Abweichung	${\displaystyle \lambda^{2}\left[\Gamma\left(1+{\frac{2}{k}}\right)-\left(\Gamma^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)\right]\,}$
Schiefe	${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+3/k)\lambda^{3}-3\mu\sigma^{2}-\mu^{3}}{\sigma^{3}}}}$
Ex. kurtosis	(siehe Text)
Entropie	${\displaystyle \gamma (1-1/k)+\ln(\lambda/k)+1\,}$
MGF	${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k),\k\ geq 1}$
CF	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)}$
Kullback-Leibler-Divergenz	siehe unten

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik , die Weibull - Verteilung / w aɪ b ʊ l / ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung . Es ist nach dem schwedischen Mathematiker Waloddi Weibull benannt , der es 1951 ausführlich beschrieb, obwohl es zuerst von Fréchet (1927) identifiziert und zuerst von Rosin & Rammler (1933) angewendet wurde , um eine Partikelgrößenverteilung zu beschreiben .

Definition

Standardparametrierung

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Weibull- Zufallsvariablen lautet:

${\displaystyle f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k -1}e^{-(x/\lambda)^{k}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}}$

wobei k > 0 der Formparameter ist und λ > 0 der Skalenparameter der Verteilung ist. Seine komplementäre kumulative Verteilungsfunktion ist eine gestreckte Exponentialfunktion . Die Weibull-Verteilung hängt mit einer Reihe anderer Wahrscheinlichkeitsverteilungen zusammen; insbesondere interpoliert es zwischen der Exponentialverteilung ( k = 1) und der Rayleigh-Verteilung ( k = 2 und ). ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {2}}\sigma}$

Wenn die Größe X eine "Zeit bis zum Ausfall" ist, gibt die Weibull-Verteilung eine Verteilung an, bei der die Ausfallrate proportional zu einer Potenz der Zeit ist. Die Formparameter, k , ist , dass Leistung plus eins, und so dieser Parameter können direkt interpretiert werden , wie folgt:

• Ein Wert von zeigt an, dass die Ausfallrate mit der Zeit abnimmt (wie beim Lindy-Effekt , der jedoch eher Pareto-Verteilungen als Weibull-Verteilungen entspricht). Dies ist der Fall, wenn eine signifikante „Kindersterblichkeit“ vorliegt oder fehlerhafte Gegenstände frühzeitig ausfallen und die Ausfallrate im Laufe der Zeit abnimmt, wenn die fehlerhaften Gegenstände aus der Population aussortiert werden. Im Kontext der Verbreitung von Innovationen bedeutet dies negative Mundpropaganda: Die Hazard-Funktion ist eine monoton abnehmende Funktion des Anteils der Adopters;${\displaystyle k<1\,}$
• Ein Wert von gibt an, dass die Fehlerrate über die Zeit konstant ist. Dies könnte darauf hindeuten, dass zufällige externe Ereignisse zu Sterblichkeit oder Versagen führen. Die Weibull-Verteilung reduziert sich auf eine Exponentialverteilung;${\displaystyle k=1\,}$
• Ein Wert von gibt an, dass die Fehlerrate mit der Zeit zunimmt. Dies geschieht, wenn es einen "Alterungs"-Prozess gibt oder Teile, die mit der Zeit eher ausfallen werden. Im Kontext der Diffusion von Innovationen bedeutet dies positive Mundpropaganda: Die Hazard-Funktion ist eine monoton steigende Funktion des Anteils der Adopters. Die Funktion ist zuerst konvex, dann konkav mit einem Wendepunkt bei .${\displaystyle k>1\,}$${\displaystyle (e^{1/k}-1)/e^{1/k},\,k>1\,}$

In der Materialwissenschaft wird der Formparameter k einer Festigkeitsverteilung als Weibull-Modul bezeichnet . Im Kontext der Innovationsdiffusion ist die Weibull-Verteilung ein „reines“ Nachahmungs-/Ablehnungsmodell.

Alternative Parametrierungen

Anwendungen in der medizinischen Statistik und Ökonometrie verwenden oft eine andere Parametrisierung. Der Formparameter k ist der gleiche wie oben, während der Skalierungsparameter ist . In diesem Fall ist für x ≥ 0 die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ${\displaystyle b=\lambda^{-k}}$

${\displaystyle f(x;k,b)=bkx^{k-1}e^{-bx^{k}},}$

die kumulative Verteilungsfunktion ist

${\displaystyle F(x;k,b)=1-e^{-bx^{k}},}$

die Gefahrenfunktion ist

${\displaystyle h(x;k,b)=bkx^{k-1},}$

und der Mittelwert ist

${\displaystyle b^{-1/k}\Gamma (1+1/k).}$

Eine dritte Parametrierung ist ebenfalls zu finden. Der Formparameter k ist der gleiche wie im Standardfall, während der Skalenparameter λ durch einen Geschwindigkeitsparameter β = 1/ λ ersetzt wird . Dann ist für x ≥ 0 die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

${\displaystyle f(x;k,\beta)=\beta k({\beta x})^{k-1}e^{-(\beta x)^{k}}}$

die kumulative Verteilungsfunktion ist

${\displaystyle F(x;k,\beta)=1-e^{-(\betax)^{k}},}$

und die Gefahrenfunktion ist

${\displaystyle h(x;k,\beta)=\betak({\betax})^{k-1}.}$

In allen drei Parametrisierungen ist die Gefahr für k < 1 abnehmend, für k > 1 ansteigend und für k = 1 konstant, wobei sich die Weibull-Verteilung auf eine Exponentialverteilung reduziert.

Eigenschaften

Dichtefunktion

Die Form der Dichtefunktion der Weibull-Verteilung ändert sich drastisch mit dem Wert von k . Für 0 < k < 1 tendiert die Dichtefunktion zu ∞, wenn x von oben gegen Null geht und streng abnimmt. Für k = 1 tendiert die Dichtefunktion gegen 1/ λ, wenn x von oben gegen Null geht und streng abnimmt. Für k > 1 geht die Dichtefunktion gegen Null, wenn x von oben gegen Null geht , steigt bis zu ihrer Mode an und fällt danach ab. Die Dichtefunktion hat eine unendliche negative Steigung bei x = 0, wenn 0 < k < 1, eine unendliche positive Steigung bei x = 0, wenn 1 < k < 2 und eine Nullsteigung bei x = 0, wenn k > 2. Für k = 1 hat die Dichte eine endliche negative Steigung bei x = 0. Für k = 2 hat die Dichte eine endliche positive Steigung bei x = 0. Wenn k gegen Unendlich geht, konvergiert die Weibull-Verteilung zu einer Dirac-Delta-Verteilung, die bei x = λ zentriert ist . Außerdem hängen Schiefe und Variationskoeffizient nur vom Formparameter ab. Eine Verallgemeinerung der Weibull-Verteilung ist die hyperbolastic-Verteilung vom Typ III .

Verteilungsfunktion

Die kumulative Verteilungsfunktion für die Weibull-Verteilung ist

${\displaystyle F(x;k,\lambda)=1-e^{-(x/\lambda)^{k}}\,}$

für x ≥ 0 und F ( x ; k ; λ) = 0 für x < 0.

Wenn x = λ dann ist F ( x ; k ; λ) = 1 −  e ⁻¹ ≈ 0.632 für alle Werte von  k . Umgekehrt: bei F ( x ; k ; λ ) = 0.632 ist der Wert von  x  ≈  λ .

Die Quantilfunktion (inverse kumulative Verteilung) für die Weibull-Verteilung ist

${\displaystyle Q(p;k,\lambda)=\lambda (-\ln(1-p))^{1/k}}$

für 0 ≤ p < 1.

Die Ausfallrate h (oder Hazard-Funktion) ist gegeben durch

${\displaystyle h(x;k,\lambda)={k\over\lambda}\left({x\over\lambda}\right)^{k-1}.}$

Die mittlere Zeit zwischen Ausfällen MTBF beträgt

${\displaystyle {\text{MTBF}}(k,\lambda)=\lambda\Gamma (1+1/k).}$

Momente

Die momenterzeugende Funktion des Logarithmus einer Weibull-verteilten Zufallsvariablen ist gegeben durch

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)}$

wobei Γ die Gammafunktion ist . In ähnlicher Weise ist die charakteristische Funktion von log X gegeben durch

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right). }$

Insbesondere ist das n- te Rohmoment von X gegeben durch

${\displaystyle m_{n}=\lambda^{n}\Gamma\left(1+{\frac{n}{k}}\right).}$

Der Mittelwert und die Varianz einer Weibull- Zufallsvariablen können ausgedrückt werden als

${\displaystyle\operatorname{E}(X)=\lambda\Gamma\left(1+{\frac{1}{k}}\right)\,}$

und

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\lambda^{2}\left[\Gamma\left(1+{\frac{2}{k}}\right)-\left(\Gamma\left( 1+{\frac{1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,.}$

Die Schiefe ist gegeben durch

${\displaystyle \gamma_{1}={\frac{\Gamma\left(1+{\frac{3}{k}}\right)\lambda^{3}-3\mu\sigma^{2} -\mu^{3}}{\sigma^{3}}}}$

wobei der Mittelwert mit μ bezeichnet wird und die Standardabweichung mit σ bezeichnet wird .

Die überschüssige Kurtosis ist gegeben durch

${\displaystyle \gamma_{2}={\frac{-6\Gamma_{1}^{4}+12\Gamma_{1}^{2}\Gamma_{2}-3\Gamma_{ 2}^{2}-4\Gamma_{1}\Gamma_{3}+\Gamma_{4}}{[\Gamma_{2}-\Gamma_{1}^{2}]^{ 2}}}}$

wo . Der Kurtosis-Überschuss kann auch geschrieben werden als: ${\displaystyle \Gamma_{i}=\Gamma (1+i/k)}$

${\displaystyle \gamma_{2}={\frac {\lambda^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma_{1}\sigma^{3} \mu-6\mu^{2}\sigma^{2}-\mu^{4}}{\sigma^{4}}}-3}$

Momenterzeugende Funktion

Für die momenterzeugende Funktion von X selbst stehen verschiedene Ausdrücke zur Verfügung . Als Potenzreihe , da die Rohmomente bereits bekannt sind, hat man

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{ n!}}\Gamma \left(1+{\frac{n}{k}}\right).}$

Alternativ kann man versuchen, sich direkt mit dem Integral

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left( {\frac{x}{\lambda}}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}}\,dx.}$

Wenn der Parameter k als rationale Zahl angenommen wird, ausgedrückt als k = p / q, wobei p und q ganze Zahlen sind, dann kann dieses Integral analytisch ausgewertet werden. Wenn t durch − t ersetzt wird , findet man

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p ^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi}})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\, q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {pk}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix }}\;\right|\,{\frac{p^{p}}{\left(q\,\lambda^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right )}$

wobei G die Meijer G-Funktion ist .

Die charakteristische Funktion wurde auch von Muraleedharan et al. (2007) . Die charakteristische Funktion und die momenterzeugende Funktion der 3-Parameter Weibull-Verteilung wurden auch von Muraleedharan & Soares (2014) durch einen direkten Ansatz abgeleitet. harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFMuraleedharanSoares2014 ( Hilfe )

Shannon-Entropie

Die Informationsentropie ist gegeben durch

${\displaystyle H(\lambda,k)=\gamma\left(1-{\frac{1}{k}}\right)+\ln\left({\frac{\lambda}{k}}\right )+1}$

wo ist die Euler-Mascheroni-Konstante . Die Weibull-Verteilung ist die maximale Entropieverteilung für eine nicht-negative reelle Zufallsvariable mit einem festen Erwartungswert von x ^k gleich λ ^k und einem festen Erwartungswert von ln( x ^k ) gleich ln( λ ^k ) −  . ${\displaystyle\gamma}$${\displaystyle\gamma}$

Parameter Schätzung

Maximale Wahrscheinlichkeit

Der Maximum-Likelihood-Schätzer für den angegebenen Parameter ist ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\widehat{\lambda}}=({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k})^{\frac {1 }{k}}}$

Der Maximum-Likelihood-Schätzer für ist die Lösung für k der folgenden Gleichung ${\displaystyle k}$

${\displaystyle 0={\frac {\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_ {i}^{k}}}-{\frac {1}{k}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}}$

Diese nur implizit definierende Gleichung muss im Allgemeinen mit numerischen Mitteln gelöst werden. ${\displaystyle {\widehat{k}}}$${\displaystyle k}$

Wenn die größten beobachteten Proben aus einer Datenmenge von mehr als Proben, dann der Maximum - Likelihood - Schätzer für die Parameter angegeben IST ${\displaystyle x_{1}>x_{2}>\cdots >x_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\widehat{\lambda}}^{k}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{ N}^{k})}$

Auch da die Bedingung, die Maximum - Likelihood - Schätzer für die ist ${\displaystyle k}$

${\displaystyle 0={\frac {\sum_{i=1}^{N}(x_{i}^{k}\ln x_{i}-x_{N}^{k}\ln x_{N })}{\sum_{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}}$

Auch dies ist eine implizite Funktion, nach der man im Allgemeinen mit numerischen Mitteln auflösen muss . ${\displaystyle k}$

Weibull-Plot

Die Anpassung einer Weibull-Verteilung an Daten kann visuell unter Verwendung eines Weibull-Plots beurteilt werden. Der Weibull-Plot ist ein Plot der empirischen kumulativen Verteilungsfunktion von Daten auf speziellen Achsen in einer Art Q-Q-Plot . Die Achsen sind gegen . Der Grund für diese Variablenänderung ist, dass die kumulative Verteilungsfunktion linearisiert werden kann: ${\displaystyle {\widehat{F}}(x)}$${\displaystyle \ln(-\ln(1-{\widehat {F}}(x)))}$${\displaystyle \ln(x)}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda)^{k}}\\[4pt]-\ln(1-F(x))&= (x/\lambda)^{k}\\[4pt]\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k \ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{ausgerichtet}}}$

die in der Standardform einer geraden Linie gesehen werden kann. Wenn die Daten aus einer Weibull-Verteilung stammen, wird daher eine gerade Linie in einem Weibull-Diagramm erwartet.

Es gibt verschiedene Ansätze, um die empirische Verteilungsfunktion aus Daten zu erhalten: Eine Methode besteht darin, die vertikale Koordinate für jeden Punkt zu erhalten, wobei verwendet wird , wo der Rang des Datenpunkts und die Anzahl der Datenpunkte ist. ${\displaystyle {\widehat{F}}={\frac {i-0,3}{n+0,4}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle n}$

Die lineare Regression kann auch verwendet werden, um die Anpassungsgüte numerisch zu bewerten und die Parameter der Weibull-Verteilung zu schätzen. Der Gradient informiert direkt über den Formparameter und auch der Skalenparameter kann abgeleitet werden. ${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda}$

Kullback-Leibler-Divergenz

${\displaystyle D_{\text{KL}}(\mathrm {Weib} _{1}\parallel \mathrm {Weib} _{2})=\log {\frac {k_{1}}{\lambda_{ 1}^{k_{1}}}}-\log {\frac {k_{2}}{\lambda_{2}^{k_{2}}}}+(k_{1}-k_{2} )\left[\log\lambda_{1}-{\frac{\gamma}{k_{1}}}\right]+\left({\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{ 2}}}\right)^{k_{2}}\Gamma \left({\frac {k_{2}}{k_{1}}}+1\right)-1}$

Anwendungen

Es wird die Weibull-Verteilung verwendet

• In der Überlebensanalyse
• In der Zuverlässigkeitstechnik und Fehleranalyse
• In der Elektrotechnik zur Darstellung von in einer elektrischen Anlage auftretenden Überspannungen
• In Industrietechnik zur Darstellung der Herstellung und Lieferung Zeiten
• In der Extremwerttheorie
• In der Wettervorhersage und der Windkraftindustrie zur Beschreibung von Windgeschwindigkeitsverteilungen , da die natürliche Verteilung oft der Weibull-Form entspricht
• In der Kommunikationssystemtechnik
  • In Radarsystemen zur Modellierung der Streuung des empfangenen Signalpegels, der von einigen Arten von Störechos erzeugt wird
  • Zur Modellierung Kanal Verblassen in drahtloser Kommunikation, wie das Weibull Schwundmodell gute Passform zu experimentellen Verblassen aufzuweisen scheint Kanalmessungen
• Bei der Informationsbeschaffung zum Modellieren der Verweilzeiten auf Webseiten.
• Im allgemeinen Versicherungs die Größe zu modellieren Rückversicherungsansprüche und die kumulierte Entwicklung von Asbestose Verlusten
• Bei der Vorhersage des technologischen Wandels (auch bekannt als Sharif-Islam-Modell)
• In der Hydrologie wird die Weibull-Verteilung auf Extremereignisse wie jährliche maximale Tagesniederschläge und Flussabflüsse angewendet.
• In Rückgang Kurvenanalyse zu Modell Ölproduktionsrate Kurve von Schieferölquellen.
• Bei der Beschreibung der Partikelgröße, die durch Mahl-, Mahl- und Zerkleinerungsvorgänge erzeugt wird , wird die 2-Parameter Weibull-Verteilung verwendet, die in diesen Anwendungen manchmal als Rosin-Rammler-Verteilung bekannt ist. In diesem Zusammenhang sagt sie weniger feine Partikel voraus als die Log-Normalverteilung und ist im Allgemeinen am genauesten für enge Partikelgrößenverteilungen. Die Interpretation der kumulativen Verteilungsfunktion ist der Massenanteil von Partikeln mit einem Durchmesser kleiner als , wobei die mittlere Partikelgröße ist und ein Maß für die Streuung der Partikelgrößen ist.${\displaystyle F(x;k,\lambda)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle k}$
• Bei der Beschreibung zufälliger Punktwolken (wie der Position von Teilchen in einem idealen Gas): Die Wahrscheinlichkeit, das nächste Nachbarteilchen in einer Entfernung von einem bestimmten Teilchen zu finden, ist durch eine Weibull-Verteilung mit und gleich der Dichte der Teilchen gegeben.${\displaystyle x}$${\displaystyle k=3}$${\displaystyle \rho=1/\lambda^{3}}$

Verwandte Distributionen

• Eine Weibull-Verteilung ist eine verallgemeinerte Gammaverteilung, bei der beide Formparameter gleich k sind .
• Die übersetzte Weibull-Verteilung (oder 3-Parameter-Weibull) enthält einen zusätzlichen Parameter. Es hat die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

  ${\displaystyle f(x;k,\lambda,\theta)={k\over\lambda}\left({x-\theta\over\lambda}\right)^{k-1}e^{-\ left({x-\theta\over\lambda}\right)^{k}}\,}$

  für und für die , wo die IS Formparameter , ist der Skalierungsparameter und die Lageparameter der Verteilung. value legt eine anfängliche fehlerfreie Zeit fest, bevor der reguläre Weibull-Prozess beginnt. Wenn reduziert sich dies auf die 2-Parameter-Verteilung.${\displaystyle x\geq\theta}$${\displaystyle f(x;k,\lambda,\theta)=0}$${\displaystyle x<\theta}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle\theta}$${\displaystyle\theta}$${\displaystyle\theta =0}$
• Die Weibull-Verteilung kann als Verteilung einer Zufallsvariablen charakterisiert werden, so dass die Zufallsvariable${\displaystyle W}$

  ${\displaystyle X=\left({\frac {W}{\lambda}}\right)^{k}}$

  ist die Standard- Exponentialverteilung mit Intensität 1.
• Dies impliziert, dass die Weibull-Verteilung auch durch eine Gleichverteilung charakterisiert werden kann : Wenn auf gleichverteilt ist , dann ist die Zufallsvariable Weibull-verteilt mit den Parametern und . Beachten Sie, dass hier äquivalent zu oben ist. Dies führt zu einem einfach zu implementierenden numerischen Schema zur Simulation einer Weibull-Verteilung.${\displaystyle U}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle W=\lambda(-\ln(U))^{1/k}\,}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle -\ln(U)}$${\displaystyle X}$
• Die Weibull-Verteilung interpoliert zwischen der Exponentialverteilung mit Intensität when und einer Rayleigh-Verteilung der Mode when .${\displaystyle 1/\lambda}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle \sigma =\lambda /{\sqrt {2}}}$${\displaystyle k=2}$
• Die Weibull-Verteilung (normalerweise ausreichend in der Zuverlässigkeitstechnik ) ist ein Spezialfall der exponentiellen Weibull-Verteilung mit drei Parametern , bei der der zusätzliche Exponent gleich 1 ist. Die exponentielle Weibull-Verteilung berücksichtigt unimodale , badewannenförmige und monotone Ausfallraten .
• Die Weibull-Verteilung ist ein Spezialfall der verallgemeinerten Extremwertverteilung . In diesem Zusammenhang wurde die Verteilung erstmals 1927 von Maurice Fréchet identifiziert . Die nach dieser Arbeit benannte eng verwandte Fréchet-Verteilung hat die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

  ${\displaystyle f_{\rm {Frechet}}(x;k,\lambda)={\frac {k}{\lambda}}\left({\frac {x}{\lambda}}\right)^{ -1-k}e^{-(x/\lambda)^{-k}}=-f_{\rm {Weibull}}(x;-k,\lambda).}$

• Die Verteilung einer Zufallsvariablen, die als das Minimum mehrerer Zufallsvariablen definiert ist, von denen jede eine andere Weibull-Verteilung hat, ist eine Poly-Weibull-Verteilung .
• Die Weibull-Verteilung wurde erstmals von Rosin & Rammler (1933) angewendet , um Partikelgrößenverteilungen zu beschreiben. Es wird häufig in der Mineralaufbereitung verwendet , um Partikelgrößenverteilungen in Zerkleinerungsprozessen zu beschreiben. In diesem Zusammenhang ist die kumulative Verteilung gegeben durch

  ${\displaystyle f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{cases}1-e^{\ln \left(0.2\right)\left({\frac {x}{P_ {\rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}}$

  wo
  • ${\displaystyle x}$ ist die Partikelgröße
  • ${\displaystyle P_{\rm {80}}}$ ist das 80. Perzentil der Partikelgrößenverteilung
  • ${\displaystyle m}$ ist ein Parameter, der die Streuung der Verteilung beschreibt
• Aufgrund seiner Verfügbarkeit in Tabellenkalkulationen wird es auch dort verwendet, wo das zugrunde liegende Verhalten tatsächlich besser durch eine Erlang-Verteilung modelliert wird .
• Wenn dann ( Exponentialverteilung )${\displaystyle X\sim\mathrm{Weibull} (\lambda,{\frac{1}{2}})}$${\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \mathrm {Exponential} ({\frac {1}{\sqrt {\lambda}}})}$
• Für die gleichen Werte von k nimmt die Gamma-Verteilung ähnliche Formen an, aber die Weibull-Verteilung ist platykurtischer .

• Aus der Sicht der Stable Zählverteilung , kann als Lévy Stabilitätsparameter angesehen werden. Eine Weibull-Verteilung kann in ein Integral der Kerneldichte zerlegt werden, wobei der Kern entweder eine Laplace-Verteilung oder eine Rayleigh-Verteilung ist :${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F(x;1,\lambda)}$ ${\displaystyle F(x;2,\lambda)}$

  ${\displaystyle F(x;k,\lambda)={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu}}\,F(x;1 ,\lambda\nu)\left(\Gamma\left({\frac{1}{k}}+1\right){\mathfrak{N}}_{k}(\nu)\right)\,d \nu ,&1\geq k>0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\,F(x;2, {\sqrt {2}}\lambda s)\left({\sqrt {\frac {2}{\pi}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right )V_{k}(s)\right)\,ds,&2\geq k>0;\end{Fälle}}}$

  wobei die Stable-Zähl-Verteilung und die Stable-Vol-Verteilung ist .${\displaystyle {\mathfrak{N}}_{k}(\nu)}$${\displaystyle V_{k}(s)}$

Siehe auch

• Satz von Fisher-Tippett-Gnedenko
• Logistikverteilung
• Kolophonium-Rammler-Verteilung für die Partikelgrößenanalyse
• Rayleigh-Verteilung
• Stabile Zählverteilung

Verweise

Literaturverzeichnis

• Fréchet, Maurice (1927), "Sur la loi de probabilité de l'écart maximum", Annales de la Société Polonaise de Mathématique, Cracovie , 6 : 93–116.
• Johnson, Norman L.; Kötz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994), Kontinuierliche univariate Verteilungen. vol. 1 , Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2. Aufl.), New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-58495-7, MR  1299979
• Mann, Nancy R. ; Schäfer, Ray E.; Singpurwalla, Nozer D. (1974), Methods for Statistical Analysis of Reliability and Life Data , Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (1. Aufl.), New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-56737-0
• Muraleedharan, G.; Rao, AD; Kurup, PG; Nair, N. Unnikrishnan; Sinha, Mourani (2007), "Modified Weibull Distribution for Maximum and Significant Wave Height Simulation and Prediction", Coastal Engineering , 54 (8): 630–638, doi : 10.1016/j.coastaleng.2007.05.001
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• Weibull, W. (1951), "Eine statistische Verteilungsfunktion von breiter Anwendbarkeit" (PDF) , Journal of Applied Mechanics , 18 (3): 293–297, Bibcode : 1951JAM....18..293W.
• "Weibull-Verteilung" . Handbuch der Ingenieurstatistik . Nationales Institut für Standards und Technologie . 2008.
• Nelson Jr., Ralph (2008-02-05). "Dispergieren von Pulvern in Flüssigkeiten, Teil 1, Kap 6: Partikelvolumenverteilung" . Abgerufen 2008-02-05 .

Externe Links

• "Weibull-Verteilung" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathpages – Weibull-Analyse
• Die Weibull-Verteilung
• Zuverlässigkeitsanalyse mit Weibull
• Interaktive Grafik: Univariate Verteilungsbeziehungen
• Online-Weibull-Wahrscheinlichkeitsdarstellung