Serienerweiterung - Series expansion

Eine Animation, die zeigt, wie die Kosinusfunktion durch Kürzungen ihrer Taylor-Reihe angenähert wird .

In der Mathematik ist eine Reihenentwicklung eine Erweiterung einer Funktion in eine Reihe oder unendliche Summe. Es ist eine Methode zur Berechnung einer Funktion , die nicht nur durch elementare Operatoren (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) ausgedrückt werden kann.

Die resultierende sogenannte Reihe kann oft auf eine endliche Anzahl von Termen beschränkt werden, wodurch sich eine Approximation der Funktion ergibt. Je weniger Terme der Folge verwendet werden, desto einfacher ist diese Näherung. Oftmals kann die resultierende Ungenauigkeit (dh die Teilsumme der weggelassenen Terme) durch eine Gleichung mit Big-O-Notation beschrieben werden (siehe auch asymptotische Entwicklung ). Die Reihenentwicklung auf einem offenen Intervall wird auch eine Näherung für nichtanalytische Funktionen sein .

Es gibt verschiedene Arten von Serienerweiterungen, wie zum Beispiel:

• Taylor-Reihe : Eine Potenzreihe basierend auf den Ableitungen einer Funktion an einem einzigen Punkt.
• Maclaurin-Reihe : Ein Sonderfall einer Taylor-Reihe, die bei Null zentriert ist.
• Laurent-Reihe : Eine Erweiterung der Taylor-Reihe, die negative Exponentenwerte zulässt.
• Dirichlet-Reihe : Wird in der Zahlentheorie verwendet .
• Fourier-Reihe : Beschreibt periodische Funktionen als eine Reihe von Sinus- und Kosinusfunktionen . In der Akustik beispielsweise bilden der Grundton und die Obertöne zusammen ein Beispiel für eine Fourier-Reihe.
• Newtonsche Reihe
• Legendre-Polynome : In der Physik verwendet , um ein beliebiges elektrisches Feld als Überlagerung eines Dipolfeldes , eines Quadrupolfeldes , eines Oktupolfeldes usw. zu beschreiben.
• Zernike-Polynome : Wird in der Optik verwendet , um Aberrationen optischer Systeme zu berechnen . Jeder Begriff in der Reihe beschreibt eine bestimmte Art von Aberration.
• Stirling-Reihe : Wird als Näherung für Fakultäten verwendet .

Beispiele

Das Folgende ist die Taylor-Reihe von : ${\displaystyle e^{x}}$

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2} }{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}...}$

Verweise

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