Skalierung (Geometrie) - Scaling (geometry)

Jede Iteration des Sierpinski-Dreiecks enthält Dreiecke, die sich um einen Skalierungsfaktor von 1/2 . auf die nächste Iteration beziehen

In der euklidischen Geometrie , einheitliche Skalierung (oder isotrope Skalierung ) ist eine lineare Transformation , daß vergrößert (erhöht) oder verkleinert (abnimmt) , Objekte , die von einem Skalierungsfaktor , der die in alle Richtungen gleich ist. Das Ergebnis der gleichmäßigen Skalierung ist (im geometrischen Sinne) dem Original ähnlich . Normalerweise ist ein Skalierungsfaktor von 1 erlaubt, so dass auch kongruente Formen als ähnlich eingestuft werden. Eine einheitliche Skalierung erfolgt beispielsweise beim Vergrößern oder Verkleinern eines Fotos oder beim Erstellen eines maßstabsgetreuen Modells eines Gebäudes, Autos, Flugzeugs usw.

Allgemeiner ist die Skalierung mit einem separaten Skalierungsfaktor für jede Achsenrichtung. Eine ungleichmäßige Skalierung ( anisotrope Skalierung ) wird erhalten, wenn sich mindestens einer der Skalierungsfaktoren von den anderen unterscheidet; ein Sonderfall ist die gerichtete Skalierung oder Dehnung (in eine Richtung). Eine ungleichmäßige Skalierung ändert die Form des Objekts; zB kann sich ein Quadrat in ein Rechteck oder in ein Parallelogramm verwandeln, wenn die Seiten des Quadrats nicht parallel zu den Skalierungsachsen sind (die Winkel zwischen den achsenparallelen Linien bleiben erhalten, aber nicht alle Winkel). Es tritt beispielsweise auf, wenn eine weit entfernte Werbetafel aus einem schrägen Winkel betrachtet wird oder wenn der Schatten eines flachen Gegenstands auf eine nicht parallele Oberfläche fällt.

Wenn der Skalierungsfaktor größer als 1 ist (gleichmäßig oder ungleichmäßig), wird die Skalierung manchmal auch als Dilatation oder Vergrößerung bezeichnet . Wenn der Skalierungsfaktor eine positive Zahl kleiner als 1 ist, wird die Skalierung manchmal auch als Kontraktion bezeichnet .

Im allgemeinsten Sinne umfasst eine Skalierung den Fall, in dem die Skalierungsrichtungen nicht senkrecht sind. Es schließt auch den Fall ein, in dem ein oder mehrere Skalierungsfaktoren gleich Null sind ( Projektion ), und den Fall von einem oder mehreren negativen Skalierungsfaktoren (eine Richtungsskalierung um -1 entspricht einer Reflexion ).

Die Skalierung ist eine lineare Transformation und ein Sonderfall der homothetischen Transformation . In den meisten Fällen handelt es sich bei den homothetischen Transformationen um nichtlineare Transformationen.

Matrixdarstellung

Eine Skalierung kann durch eine Skalierungsmatrix dargestellt werden . Um ein Objekt mit einem Vektor v = ( v _x , v _y , v _z ) zu skalieren, müsste jeder Punkt p = ( p _x , p _y , p _z ) mit dieser Skalierungsmatrix multipliziert werden:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.}$

Wie unten gezeigt, ergibt die Multiplikation das erwartete Ergebnis:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x }\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z} p_{z}\end{bmatrix}}.}$

Eine solche Skalierung verändert den Durchmesser eines Objekts um einen Faktor zwischen den Skalierungsfaktoren, die Fläche um einen Faktor zwischen dem kleinsten und dem größten Produkt zweier Skalierungsfaktoren und das Volumen um das Produkt aller drei.

Die Skalierung ist genau dann einheitlich, wenn die Skalierungsfaktoren gleich sind ( v _x = v _y = v _z ). Wenn alle Skalierungsfaktoren außer einem gleich 1 sind, haben wir eine Richtungsskalierung.

In dem Fall , wo v _x = v _y = v _z = k , erhöht sich der Bereich von jeder Oberfläche um einen Faktor von Skalierungs k ² mit dem Faktor und dem Volumen der ein fester Gegenstand k ³ .

Skalierung in beliebigen Dimensionen

Im eindimensionalen Raum wird eine gleichförmige Skalierung mit einem Faktor durch Skalarmultiplikation mit erreicht, dh durch Multiplizieren jeder Koordinate jedes Punktes mit . Als Spezialfall der linearen Transformation kann dies auch erreicht werden, indem jeder Punkt (als Spaltenvektor betrachtet) mit einer Diagonalmatrix multipliziert wird, deren Einträge auf der Diagonalen alle gleich sind , nämlich . ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle vI}$

Eine ungleichmäßige Skalierung wird durch Multiplikation mit einer beliebigen symmetrischen Matrix erreicht . Die Eigenwerte der Matrix sind die Skalierungsfaktoren und die entsprechenden Eigenvektoren sind die Achsen, entlang derer jeder Skalierungsfaktor gilt. Ein Sonderfall ist eine Diagonalmatrix mit beliebigen Zahlen entlang der Diagonalen: Die Skalierungsachsen sind dann die Koordinatenachsen, und die Transformation skaliert entlang jeder Achse um den Faktor . ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots v_{n}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i}}$

Bei gleichförmiger Skalierung mit einem von Null verschiedenen Skalierungsfaktor behalten alle Nicht-Null-Vektoren ihre Richtung (vom Ursprung aus gesehen) oder alle haben die Richtung umgekehrt, abhängig vom Vorzeichen des Skalierungsfaktors. Bei nicht gleichförmiger Skalierung behalten nur die Vektoren, die zu einem Eigenraum gehören, ihre Richtung bei. Ein Vektor, der die Summe von zwei oder mehr Nicht-Null-Vektoren ist, die zu unterschiedlichen Eigenräumen gehören, wird zum Eigenraum mit dem größten Eigenwert geneigt.

Homogene Koordinaten verwenden

In der projektiven Geometrie , die häufig in der Computergrafik verwendet wird , werden Punkte mit homogenen Koordinaten dargestellt . Um ein Objekt mit einem Vektor v = ( v _x , v _y , v _z ) zu skalieren , müsste jeder homogene Koordinatenvektor p = ( p _x , p _y , p _z , 1) mit dieser projektiven Transformationsmatrix multipliziert werden:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Wie unten gezeigt, ergibt die Multiplikation das erwartete Ergebnis:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_ {x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\ \v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

Da die letzte Komponente einer homogenen Koordinate als Nenner der anderen drei Komponenten angesehen werden kann, kann mit dieser Skalierungsmatrix eine gleichmäßige Skalierung um einen gemeinsamen Faktor s (uniform scaling) erreicht werden:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}.}$

Für jeden Vektor p = ( p _x , p _y , p _z , 1) hätten wir

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x }\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}},}$

was gleichbedeutend mit wäre

${\displaystyle {\begin{bmatrix}sp_{x}\\sp_{y}\\sp_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

Funktionserweiterung und -kontraktion

Ein gegebener Punkt wird durch die Dilatation mit dem Punkt durch die Gleichungen ${\displaystyle P(x,y)}$${\displaystyle P'(x',y')}$

${\displaystyle {\begin{cases}x'=mx\\y'=ny\end{cases}}}$für .${\displaystyle m,n\in\mathbb{R}^{+}}$

Daher lautet die Gleichung der dilatierten Funktion für eine gegebene Funktion ${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle y=nf\left({\frac {x}{m}}\right).}$

Besondere Fälle

Wenn , ist die Transformation horizontal; wann ist es eine Dilatation, wann ist es eine Kontraktion. ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle m>1}$${\displaystyle m<1}$

Wenn , ist die Transformation vertikal; wenn es sich um eine Dilatation handelt, wenn es sich um eine Kontraktion handelt. ${\displaystyle m=1}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle n<1}$

Wenn oder , ist die Transformation ein Squeeze-Mapping . ${\displaystyle m=1/n}$${\displaystyle n=1/m}$

Siehe auch

• Dilatation (metrischer Raum)
• Homogene Funktion
• Homothetische Transformation
• Maßstab (Verhältnis)
• Maßstab (Karte)
• Skalen von maßstabsgetreuen Modellen
• Skala (Begriffsklärung)
• Skalierung in der Schwerkraft
• Squeeze-Mapping
• Transformationsmatrix

Fußnoten

Externe Links

• 2D-Skalierung verstehen und 3D-Skalierung verstehen von Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project .