Raben-Paradoxon - Raven paradox

Das Rabenparadoxon , auch Hempelsches Paradoxon , Hempelsrabenparadox oder selten das Paradoxon der Indoor-Ornithologie genannt , ist ein Paradoxon, das sich aus der Frage ergibt, was ein Beweis für eine Aussage ist. Das Beobachten von Objekten, die weder schwarz noch Raben sind, kann formal die Wahrscheinlichkeit erhöhen, dass alle Raben schwarz sind, obwohl diese Beobachtungen intuitiv nichts miteinander zu tun haben.

Dieses Problem wurde in den 1940er Jahren von dem Logiker Carl Gustav Hempel vorgeschlagen , um einen Widerspruch zwischen induktiver Logik und Intuition zu veranschaulichen .

Paradox

Hempel beschreibt das Paradox mit der Hypothese :

(1) Alle Raben sind schwarz . In Form einer Implikation lässt sich dies so ausdrücken: Wenn etwas ein Rabe ist, dann ist es schwarz.

Durch Kontraposition ist diese Aussage äquivalent zu:

(2) Wenn etwas nicht schwarz ist, dann ist es kein Rabe.

Unter allen Umständen, in denen (2) wahr ist, ist (1) auch wahr – und ebenso unter allen Umständen, in denen (2) falsch ist (dh wenn man sich eine Welt vorstellt, in der etwas, das nicht schwarz war, aber ein Rabe war, existiert), (1) ist ebenfalls falsch.

Bei einer allgemeinen Aussage wie alle Raben sind schwarz , würde eine Form derselben Aussage, die sich auf eine bestimmte beobachtbare Instanz der allgemeinen Klasse bezieht, typischerweise als Beweis für diese allgemeine Aussage angesehen. Beispielsweise,

(3) Mein Haustierrabe ist schwarz.

sind Beweise für die Hypothese, dass alle Raben schwarz sind .

Das Paradoxon entsteht, wenn derselbe Prozess auf Aussage (2) angewendet wird. Beim Anblick eines grünen Apfels kann man Folgendes beobachten:

(4) Dieser grüne Apfel ist nicht schwarz und er ist kein Rabe.

Aus der gleichen Argumentation ist diese Aussage ein Beweis dafür, dass (2), wenn etwas nicht schwarz ist, es kein Rabe ist. Aber da (wie oben) diese Aussage logisch äquivalent zu (1) alle Raben sind schwarz ist , folgt daraus, dass der Anblick eines grünen Apfels ein Beweis dafür ist, dass alle Raben schwarz sind. Diese Schlussfolgerung erscheint paradox, da sie impliziert, dass Informationen über Raben durch das Betrachten eines Apfels gewonnen wurden.

Beschlussvorschläge

Das Kriterium von Nicod besagt, dass nur Beobachtungen von Raben die Ansicht beeinflussen sollten, ob alle Raben schwarz sind. Die Beobachtung mehrerer schwarzer Raben sollte die Ansicht unterstützen, die Beobachtung weißer oder farbiger Raben sollte ihr widersprechen und Beobachtungen von Nicht-Raben sollten keinen Einfluss haben.

Die Äquivalenzbedingung von Hempel besagt, dass, wenn eine Aussage X Beweise für eine andere Aussage Y liefert, X auch Beweise für jede Aussage liefert, die logisch zu Y äquivalent ist.

Realistischerweise ist die Menge der Raben endlich. Die Menge der nicht-schwarzen Dinge ist entweder unendlich oder jenseits der menschlichen Aufzählung. Um die Aussage „Alle Raben sind schwarz“ zu bestätigen, müsste man alle Raben beobachten. Dies ist schwierig, aber möglich. Um die Aussage „Alle nicht-schwarzen Dinge sind keine Raben“ zu bestätigen, müsste man alle nicht-schwarzen Dinge untersuchen. Das ist nicht möglich. Die Beobachtung eines schwarzen Raben könnte als eine endliche Menge an bestätigenden Beweisen angesehen werden, aber die Beobachtung eines nicht-schwarzen Nicht-Raben wäre eine verschwindend kleine Menge an Beweisen.

Das Paradox zeigt, dass Nicods Kriterium und Hempels Äquivalenzbedingung nicht übereinstimmen. Eine Resolution zum Paradox muss mindestens eine der folgenden ablehnen:

1. negative Instanzen ohne Einfluss (!PC),
2. Äquivalenzbedingung (EC) oder
3. Validierung durch positive Instanzen (NC).

Eine zufriedenstellende Auflösung sollte auch erklären, warum es naiverweise ein Paradoxon zu geben scheint. Lösungen, die die paradoxe Schlussfolgerung akzeptieren, können dies tun, indem sie eine Aussage präsentieren, von der wir intuitiv wissen, dass sie falsch ist, die aber leicht mit (PC) verwechselt werden kann, während Lösungen, die (EC) oder (NC) ablehnen, eine Aussage präsentieren sollten, von der wir intuitiv wissen, dass sie wahr sein, aber das wird leicht mit (EC) oder (NC) verwechselt.

Akzeptieren von Nicht-Raben als relevant

Obwohl diese Schlussfolgerung des Paradoxons kontraintuitiv erscheint, akzeptieren einige Ansätze, dass Beobachtungen von (farbigen) Nicht-Raben tatsächlich gültige Beweise zur Stützung von Hypothesen über (die universelle Schwärze von) Raben darstellen können.

Hempels Auflösung

Hempel selbst akzeptierte die paradoxe Schlussfolgerung und argumentierte, dass der Grund für das paradoxe Ergebnis darin besteht, dass wir über Vorinformationen verfügen, ohne die die Beobachtung eines nicht-schwarzen Nicht-Raben tatsächlich den Beweis liefern würde, dass alle Raben schwarz sind.

Er illustriert dies am Beispiel der Verallgemeinerung „Alle Natriumsalze brennen gelb“ und bittet uns, die Beobachtung zu berücksichtigen, die auftritt, wenn jemand ein Stück reines Eis in eine farblose Flamme hält, die nicht gelb wird:

Dieses Ergebnis würde die Behauptung bestätigen: "Was nicht gelb brennt, ist kein Natriumsalz", und folglich würde es aufgrund der Äquivalenzbedingung die ursprüngliche Formulierung bestätigen. Warum erscheint uns das paradox? Der Grund wird deutlich, wenn wir die vorherige Situation mit dem Fall eines Experiments vergleichen, bei dem ein Objekt, dessen chemische Zusammensetzung uns noch unbekannt ist, in eine Flamme gehalten wird und es nicht vergilbt, und wo eine spätere Analyse ergibt, dass es kein Natrium enthält Salz. Dieses Ergebnis, dem wir zweifellos zustimmen sollten, ist das, was auf der Grundlage der Hypothese zu erwarten war ... daher stellen die hier erhaltenen Daten einen bestätigenden Beweis für die Hypothese dar. ... In den scheinbar paradoxen Fällen der Bestätigung urteilen wir oft nicht wirklich über die Beziehung der gegebenen Beweise, E allein zur Hypothese H ... wir führen stillschweigend einen Vergleich von H mit einer Beweismasse ein, die aus E in . besteht in Verbindung mit einer zusätzlichen Menge an Informationen, die uns zufällig zur Verfügung stehen; in unserer Illustration beinhaltet diese Information die Erkenntnis, dass (1) die im Experiment verwendete Substanz Eis ist und (2) dass Eis kein Natriumsalz enthält. Wenn wir diese zusätzliche Information als gegeben annehmen, dann kann das Ergebnis des Experiments natürlich keine Stärke der betrachteten Hypothese hinzufügen. Aber wenn wir diesen stillschweigenden Hinweis auf zusätzliches Wissen vermeiden, verschwinden die Paradoxien.

Bayes'sche Standardlösung

Einer der am weitesten verbreiteten Resolutionsvorschläge besteht darin, die Schlussfolgerung zu akzeptieren, dass die Beobachtung eines grünen Apfels Beweise dafür liefert, dass alle Raben schwarz sind, aber zu argumentieren, dass die gelieferte Bestätigung aufgrund der großen Diskrepanz zwischen der Anzahl der Raben und der die Anzahl der nicht schwarzen Objekte. Nach dieser Resolution erscheint die Schlussfolgerung paradox, weil wir intuitiv die Menge der Beweise, die durch die Beobachtung eines grünen Apfels geliefert werden, auf Null schätzen, obwohl sie tatsächlich von Null verschieden, aber extrem klein ist.

IJ Goods Präsentation dieses Arguments aus dem Jahr 1960 ist vielleicht die bekannteste, und seitdem sind Variationen des Arguments populär, obwohl es 1958 präsentiert wurde und frühe Formen des Arguments bereits 1940 erschienen.

Goods Argument beinhaltet die Berechnung der Beweiskraft durch die Beobachtung eines schwarzen Raben oder eines weißen Schuhs zugunsten der Hypothese, dass alle Raben in einer Sammlung von Objekten schwarz sind. Die Beweiskraft ist der Logarithmus des Bayes-Faktors , der in diesem Fall einfach der Faktor ist, um den sich die Wahrscheinlichkeit der Hypothese ändert, wenn die Beobachtung gemacht wird. Die Argumentation geht wie folgt:

... nehmen an, dass es Objekte gibt, die jederzeit gesehen werden können, darunter Raben und schwarz, und dass jedes Objekt die Wahrscheinlichkeit hat , gesehen zu werden. Sei die Hypothese, dass es nicht-schwarze Raben gibt, und nehmen Sie an, dass die Hypothesen anfänglich gleichwahrscheinlich sind. Dann , wenn wir einen schwarzen Raben, der Bayes Faktor für sehen , passieren heißt${\displaystyle N}$${\displaystyle r}$${\displaystyle b}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle H_{1},H_{2},...,H_{r}}$${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle {\tfrac {r}{N}}{\Groß /}{\text{Durchschnitt}}\left({\tfrac {r-1}{N}},{\tfrac {r-2}{ N}},...\ ,{\tfrac {1}{N}}\right)\ =\ {\tfrac {2r}{r-1}}}$

dh etwa 2, wenn bekannt ist, dass die Anzahl der existierenden Raben groß ist. Aber der Faktor, wenn wir einen weißen Schuh sehen, ist nur

${\displaystyle {\tfrac {Nb}{N}}{\Groß /}{\text{Durchschnitt}}\left({\tfrac {Nb-1}{N}},{\tfrac {Nb-2}{ N}},...\ ,\max(0,{\tfrac {Nbr}{N}})\right)}$

${\displaystyle \ =\ {\frac {Nb}{\max \left(Nb-{\tfrac {r}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\ ,\ {\tfrac {1} {2}}(Nb-1)\right)}}}$

und dies übersteigt Eins nur um ungefähr, wenn im Vergleich zu groß ist . Somit ist die Beweiskraft des Anblicks eines weißen Schuhs positiv, aber gering, wenn bekannt ist, dass die Zahl der Raben im Vergleich zur Zahl der nicht-schwarzen Objekte gering ist.${\displaystyle r/(2N-2b)}$${\displaystyle Nb}$${\displaystyle r}$

Viele der Befürworter dieser Auflösung und ihrer Varianten waren Befürworter der Bayesschen Wahrscheinlichkeit, und sie wird heute allgemein als Bayessche Lösung bezeichnet, obwohl, wie Chihara bemerkt, „so etwas wie die Bayessche Lösung nicht existiert. Lösungen", die Bayesianer mit Bayesian-Techniken vorgebracht haben." Bemerkenswerte Ansätze, die Bayes'sche Techniken verwenden (von denen einige !PC akzeptieren und stattdessen NC ablehnen) umfassen Earman, Eells, Gibson, Hosiasson-Lindenbaum , Howson und Urbach, Mackie und Hintikka, der behauptet, sein Ansatz sei "mehr Bayesian als der so- genannt 'Bayessche Lösung' des gleichen Paradoxons". Bayessche Ansätze, die Carnaps Theorie der induktiven Inferenz nutzen, umfassen Humburg, Maher und Fitelson & Hawthorne. Vranas führte den Begriff "Standard Bayesian Solution" ein, um Verwirrung zu vermeiden.

Carnap-Ansatz

Maher akzeptiert die paradoxe Schlussfolgerung und verfeinert sie:

Ein Nicht-Rabe (welcher Farbe auch immer) bestätigt, dass alle Raben schwarz sind, weil

(i) die Information, dass dieses Objekt kein Rabe ist, beseitigt die Möglichkeit, dass dieses Objekt ein Gegenbeispiel zur Verallgemeinerung ist, und

(ii) es verringert die Wahrscheinlichkeit, dass unbeobachtete Objekte Raben sind, wodurch die Wahrscheinlichkeit verringert wird, dass sie Gegenbeispiele zur Verallgemeinerung sind.

Um (ii) zu erreichen, beruft er sich auf Carnaps Theorie der induktiven Wahrscheinlichkeit, die (aus der Bayes-Perspektive) eine Möglichkeit ist, A-priori-Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen, die natürlich die Induktion implementiert. Nach Carnaps Theorie ist die aposteriorische Wahrscheinlichkeit, , dass ein Objekt, , ein Prädikat hat, , nachdem die Beweise beobachtet wurden: ${\displaystyle P(Fa|E)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle P(Fa|E)\ =\ {\frac {n_{F}+\lambda P(Fa)}{n+\lambda}}}$

wo ist die Anfangswahrscheinlichkeit, die das Prädikat hat ; ist die Anzahl der untersuchten Objekte (nach den verfügbaren Beweisen ); ist die Anzahl der untersuchten Objekte, bei denen sich herausstellte, dass sie das Prädikat haben , und ist eine Konstante, die den Widerstand gegen Generalisierung misst. ${\displaystyle P(Fa)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle E}$${\displaystyle n_{F}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \lambda}$

Wenn nahe Null ist, wird nach einer einzigen Beobachtung eines Objekts, das das Prädikat hat , sehr nahe an Eins liegen , während wenn viel größer als ist , sehr nahe an Eins liegt, unabhängig vom Anteil der beobachteten Objekte, die das Prädikat hatten . ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle P(Fa|E)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P(Fa|E)}$${\displaystyle P(Fa)}$${\displaystyle F}$

Mit diesem Carnapschen Ansatz identifiziert Maher eine Aussage, von der wir intuitiv (und richtig) wissen, dass sie falsch ist, die aber leicht mit der paradoxen Schlussfolgerung verwechselt wird. Die fragliche Aussage ist, dass die Beobachtung von Nicht-Raben uns über die Farbe von Raben sagt. Während dies intuitiv falsch ist und auch nach Carnaps Induktionstheorie falsch ist, führt die Beobachtung von Nichtraben (nach derselben Theorie) dazu, dass wir unsere Schätzung der Gesamtzahl der Raben reduzieren und dadurch die geschätzte Anzahl möglicher Gegenbeispiele auf . reduzieren die Regel, dass alle Raben schwarz sind.

Daher sagt uns die Beobachtung eines Nicht-Raben aus der Bayesian-Carnapian-Sicht nichts über die Farbe von Raben, aber sie sagt uns über die Prävalenz von Raben und unterstützt "Alle Raben sind schwarz", indem sie unsere Schätzung der Anzahl der Raben, die möglicherweise nicht schwarz sind.

Rolle des Hintergrundwissens

Ein Großteil der Diskussion des Paradoxons im Allgemeinen und des Bayes'schen Ansatzes im Besonderen hat sich auf die Relevanz von Hintergrundwissen konzentriert. Überraschenderweise zeigt Maher, dass die Beobachtung eines nichtschwarzen Nichtrabens für eine große Klasse möglicher Konfigurationen von Hintergrundwissen genau die gleiche Bestätigung liefert wie die Beobachtung eines schwarzen Raben. Die Konfigurationen des Hintergrundwissens, die er in Betracht zieht, sind diejenigen, die durch eine Musteraussage geliefert werden , nämlich eine Aussage, die eine Konjunktion von atomaren Aussagen ist, von denen jede einem einzelnen Individuum ein einzelnes Prädikat zuschreibt, ohne dass zwei atomare Aussagen dasselbe Individuum betreffen . Somit kann ein Satz der Form "A ist ein schwarzer Rabe und B ist ein weißer Schuh" als Mustersatz betrachtet werden, indem "schwarzer Rabe" und "weißer Schuh" als Prädikate genommen werden.

Mahers Beweis scheint dem Ergebnis des Bayesschen Arguments zu widersprechen, das besagte, dass die Beobachtung eines nicht-schwarzen Nicht-Raben viel weniger Beweise liefert als die Beobachtung eines schwarzen Raben. Der Grund dafür ist, dass das Hintergrundwissen, das Good und andere verwenden, nicht in Form eines Beispielsatzes ausgedrückt werden kann – insbesondere nehmen Varianten des Bayesschen Standardansatzes oft an (wie Good in der oben zitierten Argumentation), dass die Gesamtzahl von Raben, nicht-schwarze Objekte und/oder die Gesamtzahl der Objekte sind bekannte Größen. Maher kommentiert: „Wir glauben, dass es mehr nicht-schwarze Dinge als Raben gibt, weil dies auf die Dinge zutraf, die wir bisher beobachtet haben. Beweise dieser Art können durch ein Musterbeispiel dargestellt werden. Aber ... gegeben Jede Beispiel-Proposition als Hintergrundbeweis, ein nicht schwarzer Nicht-Rabe bestätigt A genauso stark wie ein schwarzer Rabe ... Daher legt meine Analyse nahe, dass diese Antwort auf das Paradox [dh das Standard-Bayessche] nicht richtig sein kann."

Fitelson & Hawthorne untersuchten die Bedingungen, unter denen die Beobachtung eines nichtschwarzen Nichtrabens weniger Beweise liefert als die Beobachtung eines schwarzen Raben. Sie zeigen, dass, wenn ein zufällig ausgewähltes Objekt die Aussage ist, dass das Objekt schwarz ist, und die Aussage, dass das Objekt ein Rabe ist, dann die Bedingung: ${\displaystyle a}$${\displaystyle Ba}$${\displaystyle Ra}$

${\displaystyle {\frac {P({\overline {Ba}}|{\overline {H}})}{P(Ra|{\overline {H}})}}\ -\ P({\overline { Ba}}|Ra{\overline{H}})\\geq\P(Ba|Ra{\overline{H}}){\frac{P({\overline{Ba}}|H)}{P( Ra|H)}}}$

reicht aus, dass die Beobachtung eines nicht-schwarzen Nicht-Raben weniger Beweise liefert als die Beobachtung eines schwarzen Raben. Hier zeigt eine Linie über einem Satz die logische Negation dieses Satzes an.

Diese Bedingung sagt uns nicht, wie groß der Unterschied in den vorgelegten Beweisen ist, aber eine spätere Berechnung in derselben Arbeit zeigt, dass das Gewicht der Beweise, die von einem schwarzen Raben geliefert werden, das von einem nicht-schwarzen Nicht-Raben um etwa . Dies ist gleich der Menge zusätzlicher Informationen (in Bit, wenn die Basis des Logarithmus 2 ist), die bereitgestellt wird, wenn ein Rabe unbekannter Farbe als schwarz entdeckt wird, vorausgesetzt, dass nicht alle Raben schwarz sind. ${\displaystyle -\log P(Ba|Ra{\overline {H}})}$

Fitelson & Hawthorne erklären das:

Unter normalen Umständen kann der Wert zwischen 0,9 oder 0,95 liegen; so ist irgendwo um 1,11 oder 1,05. Daher kann es den Anschein haben, dass eine einzelne Instanz eines schwarzen Raben nicht viel mehr Unterstützung bietet als ein nicht schwarzer Nicht-Rabe. Unter plausiblen Bedingungen kann jedoch gezeigt werden, dass eine Folge von Instanzen (dh von n schwarzen Raben im Vergleich zu n nicht-schwarzen Nicht-Raben) ein Verhältnis von Likelihood-Verhältnissen in der Größenordnung von ergibt , das für große .${\displaystyle p=P(Ba|Ra{\overline {H}})}$${\displaystyle 1/p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (1/p)^{n}}$${\displaystyle n}$

Die Autoren weisen darauf hin, dass ihre Analyse vollständig mit der Annahme übereinstimmt, dass ein nicht schwarzer Nicht-Rabe eine äußerst geringe Menge an Beweisen liefert, obwohl sie nicht versuchen, dies zu beweisen; sie berechnen lediglich die Differenz zwischen der Menge an Beweisen, die ein schwarzer Rabe liefert, und der Menge an Beweisen, die ein nicht-schwarzer Nicht-Rabe liefert.

Anfechtung der Induktion aus positiven Instanzen

Einige Ansätze zur Auflösung des Paradoxons konzentrieren sich auf den induktiven Schritt. Sie bestreiten, ob die Beobachtung eines bestimmten Falles (z. B. eines schwarzen Raben) die Art von Beweis ist, die notwendigerweise das Vertrauen in die allgemeine Hypothese erhöht (z. B. dass Raben immer schwarz sind).

Ablenkungsmanöver

Good gibt ein Beispiel für Hintergrundwissen, bei dem die Beobachtung eines schwarzen Raben die Wahrscheinlichkeit verringert, dass alle Raben schwarz sind:

Angenommen, wir wissen, dass wir uns in der einen oder anderen von zwei Welten befinden, und die in Betracht gezogene Hypothese H lautet, dass alle Raben in unserer Welt schwarz sind. Wir wissen im Voraus, dass es in einer Welt hundert schwarze Raben gibt, keine nicht-schwarzen Raben und eine Million andere Vögel; und dass es in der anderen Welt tausend schwarze Raben, einen weißen Raben und eine Million andere Vögel gibt. Ein Vogel wird gleich wahrscheinlich zufällig aus allen Vögeln unserer Welt ausgewählt. Es stellt sich heraus, dass es sich um einen schwarzen Raben handelt. Dies ist ein starker Beweis ... dass wir uns in der zweiten Welt befinden, in der nicht alle Raben schwarz sind.

Good kommt zu dem Schluss, dass der weiße Schuh ein „ roter Hering “ ist: Manchmal kann sogar ein schwarzer Rabe ein Beweis gegen die Hypothese sein, dass alle Raben schwarz sind, daher ist die Tatsache, dass die Beobachtung eines weißen Schuhs dies stützen kann, nicht überraschend und nicht der Aufmerksamkeit wert . Nicods Kriterium ist laut Good falsch, und so folgt die paradoxe Schlussfolgerung nicht.

Hempel lehnte dies als Lösung des Paradoxons ab und bestand darauf, dass der Satz "c ist ein Rabe und ist schwarz" "für sich und ohne Bezugnahme auf andere Informationen" zu betrachten sei, und wies darauf hin, dass er "... Abschnitt 5.2(b) meines Artikels in Mind ... dass der bloße Anschein von Paradoxizität in Fällen wie dem des weißen Schuhs zum Teil darauf zurückzuführen ist, dass diese Maxime nicht beachtet wird."

Es stellt sich dann die Frage, ob das Paradox im Kontext absolut keiner Hintergrundinformationen zu verstehen ist (wie Hempel vorschlägt), oder im Kontext der Hintergrundinformationen, die wir tatsächlich zu Raben und schwarzen Objekten haben, oder im Hinblick auf alle mögliche Konfigurationen von Hintergrundinformationen.

Good hatte gezeigt, dass Nicods Kriterium für einige Konfigurationen von Hintergrundwissen falsch ist (sofern wir bereit sind, „induktiv unterstützen“ mit „erhöhen der Wahrscheinlichkeit von“ gleichzusetzen – siehe unten). Es blieb die Möglichkeit, dass in Bezug auf unsere tatsächliche Wissenskonfiguration, die sich stark von Goods Beispiel unterscheidet, das Kriterium von Nicod noch wahr sein könnte und wir damit noch zu dem paradoxen Schluss kommen könnten. Hempel hingegen besteht darauf, dass unser Hintergrundwissen selbst der Ablenkungsmanöver ist und dass wir die Induktion in Bezug auf einen Zustand vollkommener Unwissenheit betrachten sollten.

Gutes Baby

Maher machte sich in seinem Resolutionsvorschlag implizit die Tatsache zunutze, dass die Aussage "Alle Raben sind schwarz" hochwahrscheinlich ist, wenn es mit hoher Wahrscheinlichkeit keine Raben gibt. Good hatte diese Tatsache schon früher genutzt, um auf Hempels Beharrlichkeit zu antworten, dass Nicods Kriterium auch ohne Hintergrundinformationen zu verstehen sei:

...stellen Sie sich ein unendlich intelligentes Neugeborenes mit eingebauten neuronalen Schaltkreisen vor, die es ihm ermöglichen, mit formaler Logik, englischer Syntax und subjektiver Wahrscheinlichkeit umzugehen. Er könnte nun, nachdem er einen Raben im Detail definiert hat, argumentieren, dass es äußerst unwahrscheinlich ist, dass es irgendwelche Raben gibt, und daher ist es äußerst wahrscheinlich, dass alle Raben schwarz sind, das heißt, das ist wahr. „Andererseits“, so argumentiert er weiter, „wenn es Raben gibt, dann besteht eine vernünftige Chance, dass sie verschiedene Farben haben. Wenn ich also entdecken würde, dass sogar ein schwarzer Rabe existiert, würde ich es für weniger wahrscheinlich halten, als es anfangs war.'${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

Laut Good ist dies so nahe, wie man vernünftigerweise erwarten kann, einen Zustand vollkommener Unwissenheit zu erreichen, und es scheint, dass Nicods Zustand immer noch falsch ist. Maher hat Goods Argument präzisiert, indem er Carnaps Induktionstheorie verwendet, um die Vorstellung zu formalisieren, dass es wahrscheinlich viele gibt, wenn es einen Raben gibt.

Mahers Argumentation betrachtet ein Universum aus genau zwei Objekten, von denen es sehr unwahrscheinlich ist, dass es sich um einen Raben handelt (eine Chance von eins zu tausend) und eine relativ unwahrscheinliche, dass sie schwarz sind (eine Chance von eins zu zehn). Mit Carnaps Induktionsformel findet er, dass die Wahrscheinlichkeit, dass alle Raben schwarz sind, von 0,9985 auf 0,8995 abnimmt, wenn entdeckt wird, dass eines der beiden Objekte ein schwarzer Rabe ist.

Maher kommt zu dem Schluss, dass nicht nur die paradoxe Schlussfolgerung wahr ist, sondern dass Nicods Kriterium ohne Hintergrundwissen falsch ist (mit Ausnahme des Wissens, dass die Anzahl der Objekte im Universum zwei beträgt und dass Raben weniger wahrscheinlich sind als schwarze Dinge).

Ausgezeichnete Prädikate

Quine argumentierte, dass die Lösung des Paradoxons in der Erkenntnis liegt, dass bestimmte Prädikate , die er natürliche Arten nannte , einen herausragenden Status in Bezug auf die Induktion haben. Dies lässt sich an Nelson Goodmans Beispiel des Prädikats grue veranschaulichen . Ein Objekt ist grau, wenn es vor (sagen wir) 2021 blau und danach grün ist. Natürlich erwarten wir, dass Objekte, die vor 2021 blau waren, danach blau bleiben, aber wir erwarten nicht, dass die Objekte, die vor 2021 als grau befunden wurden, nach 2021 blau sind, da sie nach 2021 grün sein würden. Quines Erklärung ist, dass "blau" eine natürliche Art ist; ein privilegiertes Prädikat, das wir für die Induktion verwenden können, während "grue" keine natürliche Art ist und die Verwendung von Induktion damit zu Fehlern führt.

Dies legt eine Auflösung des Paradoxons nahe – Nicods Kriterium gilt für natürliche Arten wie „blau“ und „schwarz“, aber falsch für künstlich erfundene Prädikate wie „grau“ oder „nicht-rabe“. Das Paradoxon entsteht gemäß dieser Resolution, weil wir Nicods Kriterium implizit so interpretieren, dass es für alle Prädikate gilt, obwohl es in Wirklichkeit nur für natürliche Arten gilt.

Ein anderer Ansatz, der bestimmte Prädikate anderen vorzieht, wurde von Hintikka gewählt. Hintikka war motiviert, einen Bayesschen Ansatz für das Paradox zu finden, der sich nicht auf das Wissen über die relativen Häufigkeiten von Raben und schwarzen Dingen stützte. Argumente bezüglich relativer Häufigkeiten können nicht immer die wahrgenommene Irrelevanz von Beweisen erklären, die aus Beobachtungen von Objekten des Typs A bestehen, um etwas über Objekte des Typs Nicht-A zu erfahren.

Sein Argument kann veranschaulicht werden, indem das Paradoxon mit anderen Prädikaten als "Rabe" und "Schwarz" umformuliert wird. Zum Beispiel ist "Alle Männer sind groß" gleichbedeutend mit "Alle kleinen Menschen sind Frauen", und daher sollte die Beobachtung, dass eine zufällig ausgewählte Person eine kleine Frau ist, einen Beweis dafür liefern, dass alle Männer groß sind. Trotz der Tatsache, dass uns Hintergrundwissen fehlt, um darauf hinzuweisen, dass es dramatisch weniger Männer als kleine Menschen gibt, neigen wir immer noch dazu, die Schlussfolgerung abzulehnen. Hintikkas Beispiel ist: "... eine Verallgemeinerung wie 'keine materiellen Körper sind unendlich teilbar' scheint von Fragen nach immateriellen Entitäten völlig unbeeinflusst zu sein, unabhängig davon, was man über die relativen Häufigkeiten von materiellen und immateriellen Entitäten im eigenen Diskursuniversum denkt. "

Seine Lösung besteht darin, eine Ordnung in die Menge der Prädikate einzuführen . Wenn das logische System mit dieser Ordnung ausgestattet ist, ist es möglich, den Umfang einer Verallgemeinerung wie "Alle Raben sind schwarz" so einzuschränken , dass sie nur für Raben gilt und nicht für nicht-schwarze Dinge, da die Ordnung Raben gegenüber Nicht- -schwarze Sachen. Wie er es ausdrückt:

„Wenn wir berechtigt anzunehmen sind, dass der Geltungsbereich der Verallgemeinerung ‚Alle Raben sind schwarz‘ auf Raben beschränkt werden kann, dann bedeutet dies, dass wir über einige externe Informationen verfügen, auf die wir uns bezüglich der Sachlage verlassen können. Das Paradox ergibt sich aus der Tatsache dass diese Informationen, die unsere spontane Sicht der Situation färben, nicht in die übliche Behandlung der induktiven Situation einfließen."

Ablehnungen der Hempelschen Äquivalenzbedingung

Einige Ansätze zur Auflösung des Paradoxons lehnen die Äquivalenzbedingung von Hempel ab. Das heißt, sie können Beweise, die die Aussage alle nicht-schwarzen Objekte sind keine Raben unterstützen, nicht berücksichtigen, um notwendigerweise logisch äquivalente Aussagen wie alle Raben sind schwarz zu unterstützen .

Selektive Bestätigung

Scheffler und Goodman haben sich dem Paradoxon nähert, das Karl Poppers Ansicht beinhaltet, dass wissenschaftliche Hypothesen nie wirklich bestätigt, sondern nur falsifiziert werden.

Der Ansatz beginnt mit der Feststellung, dass die Beobachtung eines schwarzen Raben nicht beweist, dass "alle Raben schwarz sind", sondern die gegenteilige Hypothese "Keine Raben sind schwarz" falsifiziert. Ein nicht-schwarzer Nicht-Rabe hingegen stimmt sowohl mit "Alle Raben sind schwarz" als auch mit "Keine Raben sind schwarz" überein. Wie die Autoren es ausdrücken:

... die Aussage, dass alle Raben schwarz sind, wird durch den Beweis eines schwarzen Raben nicht nur befriedigt, sondern durch einen solchen Beweis begünstigt , da ein schwarzer Rabe die gegenteilige Aussage, dass nicht alle Raben schwarz sind, widerlegt, dh deren Leugnung befriedigt. Mit anderen Worten erfüllt ein schwarzer Rabe die Hypothese, dass alle Raben schwarz sind und nicht: Er bestätigt somit selektiv, dass alle Raben schwarz sind .

Eine selektive Bestätigung verletzt die Äquivalenzbedingung, da ein schwarzer Rabe selektiv "Alle Raben sind schwarz" bestätigt, aber nicht "Alle nicht-schwarzen Dinge sind keine Raben".

Probabilistische oder nicht-probabilistische Induktion

Schefflers und Goodmans Konzept der selektiven Bestätigung ist ein Beispiel für eine Interpretation von "liefert Beweise für...", die nicht mit "erhöht die Wahrscheinlichkeit von..." zusammenfällt. Dies muss ein allgemeines Merkmal aller Resolutionen sein, die die Äquivalenzbedingung, da logisch äquivalente Aussagen immer die gleiche Wahrscheinlichkeit haben müssen.

Es ist unmöglich, dass die Beobachtung eines schwarzen Raben die Wahrscheinlichkeit des Satzes "Alle Raben sind schwarz" erhöht, ohne genau dieselbe Änderung der Wahrscheinlichkeit zu bewirken, dass "Alle nicht-schwarzen Dinge sind keine Raben". Wenn eine Beobachtung ersteres induktiv unterstützt, letzteres jedoch nicht, dann muss sich "induktiv unterstützen" auf etwas anderes beziehen als auf Änderungen der Wahrscheinlichkeiten von Aussagen. Ein mögliches Schlupfloch besteht darin, „Alle“ als „Fast alle“ zu interpretieren – „Fast alle Raben sind schwarz“ ist nicht gleichbedeutend mit „Fast alle nicht schwarzen Dinge sind keine Raben“, und diese Aussagen können sehr unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben.

Dies wirft die umfassendere Frage nach dem Verhältnis der Wahrscheinlichkeitstheorie zum induktiven Denken auf. Karl Popper argumentierte, dass die Wahrscheinlichkeitstheorie allein die Induktion nicht erklären kann. Seine Argumentation beinhaltet die Aufspaltung einer Hypothese, , in einen Teil, der deduktiv durch die Beweise bedingt ist , und einen anderen Teil. Dies kann auf zwei Arten erfolgen. ${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$

Betrachten Sie zunächst die Aufteilung:

${\displaystyle H=A\ und\ B\ \ \ \ \ \ E=B\ und\ C}$

wobei , und probabilistisch unabhängig sind: und so weiter. Die Bedingung, die notwendig ist, damit eine solche Aufspaltung von H und E möglich ist , ist , d. h., dass sie wahrscheinlich durch unterstützt wird . ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P(A\ und\ B)=P(A)P(B)}$${\displaystyle P(H|E)>P(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$

Poppers Beobachtung ist, dass der Teil, von dem die Unterstützung von erhält, tatsächlich deduktiv von folgt , während der Teil von dem , der nicht deduktiv von folgt , überhaupt keine Unterstützung von – das heißt, erhält . ${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle P(A|E)=P(A)}$

Zweitens die Aufteilung:

${\displaystyle H=(H\ oder\ E)\ und\ (H\ oder\ {\overline {E}})}$

trennt sich in , die, wie Popper sagt, "der logisch stärkste Teil von (oder des Inhalts von ) ist, der [deduktiv] aus " folgt , und , der, wie er sagt, "alles enthält, was darüber hinausgeht ". Er fährt fort: ${\displaystyle H}$${\displaystyle (H\ oder\ E)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (H\ oder\ {\overline {E}})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$

Bietet in diesem Fall eine Unterstützung für den Faktor , der in Gegenwart von allein erforderlich ist, um zu erhalten ? Die Antwort ist: Nein. Das tut es nie. In der Tat Gegenstützen, es sei denn, entweder oder (was Möglichkeiten ohne Interesse sind). ...${\displaystyle E}$${\displaystyle (H\ oder\ {\overline {E}})}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (H\ oder\ {\overline {E}})}$${\displaystyle P(H|E)=1}$${\displaystyle P(E)=1}$

Dieses Ergebnis ist für die induktive Interpretation der Wahrscheinlichkeitsrechnung völlig verheerend. Jede probabilistische Unterstützung ist rein deduktiv: Der Teil einer Hypothese, der nicht deduktiv durch die Evidenz impliziert wird, wird immer stark durch die Evidenz gestützt ... Es gibt so etwas wie probabilistische Unterstützung; es könnte sogar so etwas wie induktive Unterstützung geben (obwohl wir das kaum glauben). Aber die Wahrscheinlichkeitsrechnung zeigt, dass probabilistische Unterstützung keine induktive Unterstützung sein kann.

Orthodoxer Ansatz

Die orthodoxe Neyman-Pearson- Theorie des Hypothesentests betrachtet eher die Entscheidung, ob eine Hypothese akzeptiert oder abgelehnt wird , als die Wahrscheinlichkeit, die der Hypothese zuzuordnen ist. Aus dieser Sicht wird die Hypothese "Alle Raben sind schwarz" nicht stufenweise akzeptiert , da ihre Wahrscheinlichkeit bei immer mehr Beobachtungen gegen eins ansteigt, sondern wird in einer einzigen Aktion als Ergebnis der Auswertung der Daten akzeptiert, die schon gesammelt worden. Wie Neyman und Pearson es ausdrücken:

Ohne zu hoffen, zu wissen, ob jede einzelne Hypothese wahr oder falsch ist, können wir nach Regeln suchen, die unser Verhalten in Bezug auf sie regeln, bei denen wir sicherstellen, dass wir auf lange Sicht nicht zu oft falsch liegen.

Nach diesem Ansatz ist es nicht erforderlich, der Wahrscheinlichkeit einer Hypothese einen Wert zuzuordnen , obwohl man bei der Entscheidung über Annahme oder Ablehnung sicherlich die Wahrscheinlichkeit der Daten berücksichtigen muss, die die Hypothese oder eine konkurrierende Hypothese enthalten . Die Annahme oder Ablehnung einer Hypothese birgt das Fehlerrisiko .

Dies steht im Gegensatz zum Bayesschen Ansatz, der erfordert, dass der Hypothese eine vorherige Wahrscheinlichkeit zugewiesen wird, die im Lichte der beobachteten Daten revidiert wird, um die endgültige Wahrscheinlichkeit der Hypothese zu erhalten. Im Bayesschen Rahmen besteht kein Fehlerrisiko, da Hypothesen nicht akzeptiert oder abgelehnt werden; stattdessen werden ihnen Wahrscheinlichkeiten zugewiesen.

Eine Analyse des Paradoxons aus orthodoxer Sicht wurde durchgeführt und führt unter anderem zu einer Ablehnung der Äquivalenzbedingung:

Es scheint offensichtlich, dass man nicht sowohl die Hypothese akzeptieren kann , dass alle Ps Q sind, als auch das Kontrapositiv ablehnen, dh dass alle Nicht-Qs Nicht-P sind. Es ist jedoch leicht zu erkennen, dass nach der Neyman-Pearson-Testtheorie ein Test von "Alle Ps sind Q" nicht unbedingt ein Test von "Alle Nicht-Qs sind Nicht-P" oder umgekehrt. Ein Test von "Alle Ps sind Q" erfordert den Verweis auf eine alternative statistische Hypothese der Form aller Ps sind Q, während ein Test von "Alle Nicht-Qs sind Nicht-P" den Verweis auf eine statistische Alternative der Form von erfordert alle Nicht-Qs sind Nicht-P, . Aber diese beiden Sätze möglicher Alternativen sind unterschiedlich ... So könnte man einen Test machen, ohne einen Test auf sein Kontrapositiv zu haben.${\displaystyle r}$${\displaystyle 0<r<1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 0<r<1}$${\displaystyle H}$

Ablehnung materieller Implikationen

Die folgenden Aussagen implizieren alle einander: "Jeder Gegenstand ist entweder schwarz oder kein Rabe", "Jeder Rabe ist schwarz" und "Jeder nicht-schwarze Gegenstand ist ein Nicht-Rabe". Sie sind daher per Definition logisch äquivalent. Die drei Sätze haben jedoch unterschiedliche Domänen: Der erste Satz sagt etwas über „jeden Gegenstand“ aus, während der zweite etwas über „jeden Raben“ sagt.

Der erste Satz ist der einzige, dessen Quantifizierungsbereich unbeschränkt ist ("alle Objekte"), also ist dieser der einzige, der in der Logik erster Ordnung ausgedrückt werden kann . Es ist logisch äquivalent zu:

${\displaystyle \forall\x,Rx\ \rightarrow\Bx}$

und auch zu

${\displaystyle \forall\x,{\overline {Bx}}\\rightarrow\{\overline {Rx}}}$

wobei bezeichnet das materialbedingte , wonach "wenn dann " als " oder " verstanden werden kann .${\displaystyle \rightarrow}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\overline {A}}}$

Es wurde von mehreren Autoren argumentiert, dass die materielle Implikation die Bedeutung von „Wenn dann “ nicht vollständig erfasst (siehe die Paradoxien der materiellen Implikation ). "Für jedes Objekt ist , entweder schwarz oder kein Rabe" ist wahr, wenn es keine Raben gibt. Aus diesem Grund gilt "Alle Raben sind schwarz" als wahr, wenn es keine Raben gibt. Darüber hinaus stützten sich die Argumente, die Good und Maher benutzten, um Nicods Kriterium zu kritisieren (siehe § Goods Baby , oben), auf diese Tatsache – dass "Alle Raben sind schwarz" ist sehr wahrscheinlich, wenn es sehr wahrscheinlich ist, dass es keine Raben gibt. ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Zu sagen, dass alle Raben ohne Raben schwarz sind, ist eine leere Aussage. Es bezieht sich auf nichts. "Alle Raben sind weiß" ist gleichermaßen relevant und wahr, wenn diese Aussage als wahr oder relevant angesehen wird.

Einige Ansätze zum Paradoxon haben versucht, andere Interpretationsweisen von "Wenn dann " und "Alle sind " zu finden , die die wahrgenommene Äquivalenz zwischen "Alle Raben sind schwarz" und "Alle nicht-schwarzen Dinge sind keine Raben" beseitigen würden. ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Ein solcher Ansatz beinhaltet die Einführung einer vielwertigen Logik, nach der "Wenn dann " den Wahrheitswert hat , was "unbestimmt" oder "unangemessen" bedeutet, wenn falsch ist. In einem solchen System ist die Kontraposition nicht automatisch erlaubt: "Wenn dann " ist nicht gleichbedeutend mit "Wenn dann ". Folglich ist "Alle Raben sind schwarz" nicht gleichbedeutend mit "Alle nicht-schwarzen Dinge sind keine Raben". ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\overline {B}}}$${\displaystyle {\overline {A}}}$

In diesem System wird , wenn contra auftritt, wird die Modalität der bedingten beteiligten Änderungen aus dem indikativen ( „Wenn das Stück Butter wurde auf 32 ° C erhitzt , dann wird geschmolzen“) an den counterfactual ( "Wenn das Stück Butter gewesen auf 32 °C erhitzt, dann wäre es geschmolzen"). Damit ist nach diesem Argument die angebliche Äquivalenz aufgehoben, die notwendig ist, um zu dem Schluss zu kommen, dass gelbe Kühe uns über Raben informieren können:

Im richtigen grammatikalischen Gebrauch sollte ein kontrapositives Argument nicht vollständig im Indikativ angegeben werden. So:

Aus der Tatsache, dass dieses Streichholz, wenn es zerkratzt wird, aufleuchtet, folgt, dass es nicht zerkratzt wurde, wenn es nicht aufleuchtet.

ist umständlich. Wir sollten sagen:

Aus der Tatsache , dass , wenn dieses Spiel es leuchtet zerkratzt wird, folgt daraus , dass , wenn sie sind nicht auf Licht es wäre nicht verkratzt worden ist. ...

Man könnte sich fragen, welche Auswirkung diese Interpretation des Gesetzes der Kontraposition auf Hempels Bestätigungsparadox hat. "Wenn ein Rabe, dann ist schwarz" ist gleichbedeutend mit "Wenn nicht schwarz, dann wäre kein Rabe". Daher sollte das, was letzteres bestätigt, auch durch die Äquivalenzbedingung ersteres bestätigen. Stimmt, aber gelbe Kühe können immer noch nicht in die Bestätigung von "Alle Raben sind schwarz" eingehen, weil in der Wissenschaft die Bestätigung durch Vorhersage erfolgt und Vorhersagen richtig in der indikativen Stimmung ausgedrückt werden. Es ist sinnlos zu fragen, was ein kontrafaktisches Ergebnis bestätigt.${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

Unterschiedliche Ergebnisse der Annahme der Hypothesen

Mehrere Kommentatoren haben beobachtet, dass die Aussagen "Alle Raben sind schwarz" und "Alle nicht-schwarzen Dinge sind keine Raben" verschiedene Verfahren zum Testen der Hypothesen vorschlagen. ZB Good schreibt:

Als Sätze sind die beiden Aussagen logisch äquivalent. Aber sie haben eine andere psychologische Wirkung auf den Experimentator. Wird er gebeten, zu testen, ob alle Raben schwarz sind, sucht er nach einem Raben und entscheidet dann, ob er schwarz ist. Aber wenn er gefragt wird, ob alle nicht-schwarzen Dinge Nicht-Raben sind, kann er nach einem nicht-schwarzen Objekt suchen und dann entscheiden, ob es ein Rabe ist.

In jüngerer Zeit wurde vorgeschlagen, dass "Alle Raben sind schwarz" und "Alle nicht schwarzen Dinge sind keine Raben" unterschiedliche Auswirkungen haben können, wenn sie akzeptiert werden . Das Argument berücksichtigt Situationen, in denen die Gesamtzahl oder Prävalenz von Raben und schwarzen Objekten unbekannt, aber geschätzt ist. Wenn die Hypothese "Alle Raben sind schwarz" akzeptiert wird, steigt dem Argument zufolge die geschätzte Anzahl schwarzer Objekte, während sich die geschätzte Anzahl der Raben nicht ändert.

Es kann veranschaulicht werden, indem man die Situation von zwei Personen betrachtet, die identische Informationen über Raben und schwarze Objekte haben und die identische Schätzungen der Anzahl von Raben und schwarzen Objekten haben. Der Konkretheit halber nehmen wir an, dass es insgesamt 100 Objekte gibt, und nach den Informationen, die den beteiligten Personen zur Verfügung stehen, ist jedes Objekt genauso wahrscheinlich ein Nicht-Rabe wie ein Rabe und genauso wahrscheinlich schwarz wie es nicht schwarz sein soll:

${\displaystyle P(Ra)={\frac {1}{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ P(Ba)={\frac {1}{2}}}$

und die Sätze sind für verschiedene Gegenstände unabhängig , und so weiter. Dann beträgt die geschätzte Anzahl der Raben 50; die geschätzte Anzahl schwarzer Dinge beträgt 50; die geschätzte Anzahl schwarzer Raben beträgt 25 und die geschätzte Anzahl nicht schwarzer Raben (Gegenbeispiele zu den Hypothesen) beträgt 25. ${\displaystyle Ra,\ Rb}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Eine der Personen führt einen statistischen Test (z. B. einen Neyman-Pearson- Test oder den Vergleich der akkumulierten Beweiskraft mit einem Schwellenwert) der Hypothese "Alle Raben sind schwarz" durch, während die andere die Hypothese testet, dass "Alle nicht- schwarze Gegenstände sind keine Raben". Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die für den Test verwendeten Beweise nichts mit der hier behandelten Sammlung von 100 Objekten zu tun haben. Akzeptiert die erste Person die Hypothese „Alle Raben sind schwarz“, so werden der Argumentation zufolge nun etwa 50 Objekte, deren Farbe zuvor zweifelhaft war (die Raben), als schwarz angesehen, während bei den restlichen Objekten nichts anderes gedacht wird (die Nicht-Raben). Folglich sollte er die Zahl der schwarzen Raben auf 50, die Zahl der schwarzen Nicht-Raben auf 25 und die Zahl der nicht-schwarzen Nicht-Raben auf 25 schätzen. Dieses Argument schränkt durch die Angabe dieser Änderungen explizit den Bereich von "Alle Raben" ein sind schwarz" für Raben.

Wenn andererseits die zweite Person die Hypothese akzeptiert, dass "Alle nicht-schwarzen Objekte keine Raben sind", dann werden die ungefähr 50 nicht-schwarzen Objekte, bei denen ungewiss war, ob es sich bei jedem um einen Raben handelt, als Nicht-Raben angesehen -Raben. Gleichzeitig wird an die rund 50 verbleibenden Objekte (die schwarzen Objekte) nichts anderes gedacht. Folglich sollte er die Zahl der schwarzen Raben auf 25, die Zahl der schwarzen Nicht-Raben auf 25 und die Zahl der nicht-schwarzen Nicht-Raben auf 50 schätzen. Nach diesem Argument sind sich die beiden Personen über ihre Schätzungen uneins, nachdem sie die verschiedenen Hypothesen akzeptiert haben, die Annahme von "Alle Raben sind schwarz" ist nicht gleichbedeutend mit der Annahme "Alle nicht schwarzen Dinge sind keine Raben"; Ersteres zu akzeptieren bedeutet, mehr Dinge als schwarz einzuschätzen, während Letzteres zu akzeptieren bedeutet, mehr Dinge als Nicht-Raben einzuschätzen. Entsprechend, so wird argumentiert, verlangt ersteres als Beweis Raben, die sich als schwarz herausstellen, und letzteres verlangt nicht-schwarze Dinge, die sich als nicht-Raben herausstellen.

Existenzielle Voraussetzungen

Eine Reihe von Autoren hat argumentiert , dass Sätze der Form " Alle sind " voraussetzen , dass es Objekte gibt , die sind . Diese Analyse wurde auf das Rabenparadoxon angewendet: ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

... : "Alle Raben sind schwarz" und : "Alle nichtschwarzen Dinge sind Nichtraben" sind aufgrund ihrer unterschiedlichen Existenzvoraussetzungen nicht streng äquivalent . Darüber hinaus haben sie unterschiedliche logische Formen , obwohl und beschreiben sie dieselbe Regelmäßigkeit – die Nichtexistenz von nichtschwarzen Raben. Die beiden Hypothesen haben unterschiedliche Bedeutungen und beinhalten unterschiedliche Verfahren zum Testen der von ihnen beschriebenen Regelmäßigkeit.${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$

Eine modifizierte Logik kann Existenzvoraussetzungen mit dem Präsuppositionsoperator '*' berücksichtigen. Beispielsweise,

${\displaystyle \forall\x,\ *Rx\rightarrow Bx}$

kann "Alle Raben sind schwarz" bedeuten und gleichzeitig angeben, dass es in diesem Beispiel Raben und nicht nicht schwarze Objekte sind, von denen angenommen wird, dass sie existieren.

... die logische Form jeder Hypothese unterscheidet sie in Bezug auf die empfohlene Art der unterstützenden Beweise: Die möglicherweise wahren Substitutionsinstanzen jeder Hypothese beziehen sich auf verschiedene Arten von Objekten. Die Tatsache, dass die beiden Hypothesen unterschiedliche Arten von Testverfahren beinhalten, wird in der formalen Sprache dadurch ausgedrückt, dass dem Operator '*' ein anderes Prädikat vorangestellt wird. Der Präsuppositionsoperator dient somit auch als Relevanzoperator. Es wird dem Prädikat ' ist ein Rabe' vorangestellt, weil die für das Prüfverfahren in "Alle Raben sind schwarz" relevanten Objekte nur Raben umfassen; es wird dem Prädikat ' ist nichtschwarz' vorangestellt , da die für das Testverfahren in "Alle nichtschwarzen Dinge sind nichtrabene" relevanten Objekte nur nichtschwarze Dinge umfassen. ... Mit Fregesche Bedingungen: wenn ihre Voraussetzungen halten, die beiden Hypothesen den gleichen referenten (Wahrheitswert), aber unterschiedlichen Sinn ; das heißt, sie drücken zwei verschiedene Arten aus, um diesen Wahrheitswert zu bestimmen.${\displaystyle x}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H_{2}}$

Siehe auch

• Assoziationsirrtum
• Bayessche Erkenntnistheorie
• Theorie des Schwarzen Schwans
• Liste der Paradoxien

Anmerkungen

Weiterlesen

• Chang, Hasok ; Fischer, Grant (2011). „Was uns die Raben wirklich lehren: die intrinsische Kontextualität von Beweisen“ . In Dawid, Philip; Twining, William L.; Vasilaki, Mimi (Hrsg.). Beweise, Schlussfolgerungen und Untersuchung . Tagungsband der British Academy. 171 . Oxford; New York: Oxford University Press. doi : 10.5871/bacad/9780197264843.003.0013 . ISBN 9780197264843. OCLC-  709682874 .
• Franceschi, Paul (2011-02-04). „Das Weltuntergangsargument und Hempels Problem“ . paulfranceschi.com . Abgerufen am 27.04.2020 .Englische Übersetzung eines zunächst in französischer Sprache erschienenen Artikels: Franceschi, Paul (März 1999). "Kommentar l'Urne de Carter et Leslie se déverse dans celle de Hempel". Kanadisches Journal für Philosophie . 29 (1): 139–156. doi : 10.1080/00455091.1999.10717508 . JSTOR  40232048 .
• Hempel, Carl G. (Dezember 1943). "Eine rein syntaktische Definition der Bestätigung" (PDF) . Zeitschrift für symbolische Logik . 8 (4): 122–143. doi : 10.2307/2271053 . JSTOR  2271053 .
• Hempel, Carl G. (1966). „Studien in der Logik der Bestätigung“. In Foster, Marguerite H.; Martin, Michael (Hrsg.). Wahrscheinlichkeit, Bestätigung und Einfachheit: Lesungen in der Philosophie der induktiven Logik . New York: Odyssey-Presse. S. 145–183. OCLC  284885 .
• Whiteley, CH (April 1945). "Hempels Paradoxe der Bestätigung". Verstand . 54 (214): 156–158. doi : 10.1093/mind/liv.214.156 . JSTOR  2250951 .