Orthogonalisierung - Orthogonalization

In der linearen Algebra ist Orthogonalisierung der Prozess des Findens einer Menge orthogonaler Vektoren , die einen bestimmten Unterraum überspannen . Ausgehend von einer linear unabhängigen Menge von Vektoren { v 1 , ... ,  v k } in einem inneren Produktraum (am häufigsten der euklidische Raum R n ) führt die Orthogonalisierung zu einer Menge orthogonaler Vektoren { u 1 , .. . ,  u k } , die denselben Unterraum erzeugen wie die Vektoren v 1 , ... ,  v k . Jeder Vektor in der neuen Menge ist orthogonal zu jedem anderen Vektor in der neuen Menge; und der neue Satz und der alte Satz haben die gleiche lineare Spanne .

Wenn wir möchten, dass die resultierenden Vektoren alle Einheitsvektoren sind , dann normalisieren wir jeden Vektor und das Verfahren heißt Orthonormierung .

Orthogonalisierung ist auch in Bezug auf jede symmetrische Bilinearform möglich (nicht notwendigerweise ein inneres Produkt, nicht notwendigerweise über reelle Zahlen ), aber Standardalgorithmen können in dieser allgemeineren Einstellung auf eine Division durch Null stoßen .

Orthogonalisierungsalgorithmen

Methoden zur Durchführung der Orthogonalisierung umfassen:

Bei der Orthogonalisierung auf einem Computer wird die Householder-Transformation normalerweise dem Gram-Schmidt-Prozess vorgezogen, da sie numerisch stabiler ist , dh Rundungsfehler haben tendenziell weniger schwerwiegende Auswirkungen.

Andererseits erzeugt der Gram-Schmidt-Prozess den j-ten orthogonalisierten Vektor nach der j-ten Iteration, während die Orthogonalisierung mit Householder-Reflexionen alle Vektoren erst am Ende erzeugt. Dadurch ist nur der Gram-Schmidt-Prozess für iterative Verfahren wie die Arnoldi-Iteration anwendbar .

Die Givens-Rotation lässt sich leichter parallelisieren als Householder-Transformationen.

Symmetrische Orthogonalisierung wurde von Per-Olov Löwdin formuliert .

Lokale Orthogonalisierung

Um den Verlust des Nutzsignals bei herkömmlichen Rauschdämpfungsansätzen aufgrund einer falschen Parameterauswahl oder unzulänglichen Entrauschungsannahmen zu kompensieren, kann ein Gewichtungsoperator auf den anfänglich entrauschten Abschnitt angewendet werden, um das Nutzsignal aus dem anfänglichen Rauschabschnitt abzurufen. Der neue Rauschunterdrückungsprozess wird als lokale Orthogonalisierung von Signal und Rauschen bezeichnet. Es hat ein breites Anwendungsspektrum in vielen Bereichen der Signalverarbeitung und seismischen Erkundung.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Löwdin, Per-Olov (1970). "Über das Nichtorthogonalitätsproblem" . Fortschritte in der Quantenchemie . 5 . Sonst. S. 185–199.
  2. ^ Chen, Yangkang; Fomel, Sergej (2015). „Zufällige Rauschdämpfung mit lokaler Signal-und-Rausch-Orthogonalisierung“. Geophysik . 80 (6): WD1–WD9. doi : 10.1190/GEO2014-0227.1 .