Grenzfall (Mathematik) - Limiting case (mathematics)
In der Mathematik ist ein Grenzfall eines mathematischen Objekts ein Sonderfall , der auftritt, wenn eine oder mehrere Komponenten des Objekts ihre extremsten Werte annehmen. Beispielsweise:
- In der Statistik ist der Grenzfall der Binomialverteilung die Poisson-Verteilung . Da die Anzahl der Ereignisse in der Binomialverteilung gegen unendlich tendiert, ändert sich die Zufallsvariable vom Binomial zur Poisson-Verteilung.
- Ein Kreis ist ein Grenzfall für verschiedene andere Figuren, einschließlich des kartesischen Ovals , der Ellipse , der Superellipse und des Cassini-Ovals . Jeder Figurentyp ist ein Kreis für bestimmte Werte der definierenden Parameter, und die generische Figur erscheint eher wie ein Kreis, wenn sich die Grenzwerte nähern.
- Archimedes berechnete einen ungefähren Wert von π, indem er den Kreis als Grenzfall eines regulären Polygons mit 3 × 2 n Seiten behandelte, wenn n groß wird.
- Bei Elektrizität und Magnetismus ist die Langwellenlängengrenze der Grenzfall, wenn die Wellenlänge viel größer als die Systemgröße ist.
- In der Wirtschaft sind zwei Grenzfälle einer Nachfrage- oder Angebotskurve solche, bei denen die Elastizität Null (der völlig unelastische Fall) oder unendlich (der unendlich elastische Fall) ist.
- Im Finanzbereich ist die kontinuierliche Aufzinsung der Grenzfall für Zinseszinsen, bei dem die Aufzinsungsperiode unendlich klein wird. Dies wird erreicht, indem die Grenze genommen wird, wenn die Anzahl der Aufzinsungsperioden pro Jahr gegen unendlich geht.
Ein Grenzfall ist manchmal ein entarteter Fall, in dem sich einige qualitative Eigenschaften von den entsprechenden Eigenschaften des generischen Falls unterscheiden . Beispielsweise:
- Ein Punkt ist ein entarteter Kreis , nämlich einer mit dem Radius 0.
- Eine Parabel kann in zwei unterschiedliche oder zusammenfallende parallele Linien ausarten .
- Eine Ellipse kann in einen einzelnen Punkt oder ein Liniensegment ausarten .
- Eine Hyperbel kann in zwei sich schneidende Linien ausarten .
