Isometrische Projektion -Isometric projection
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Die isometrische Projektion ist eine Methode zur visuellen Darstellung dreidimensionaler Objekte in zwei Dimensionen in technischen und technischen Zeichnungen . Es ist eine axonometrische Projektion , bei der die drei Koordinatenachsen gleich perspektivisch verkürzt erscheinen und der Winkel zwischen zwei von ihnen 120 Grad beträgt.
Überblick
Der Begriff „isometrisch“ stammt aus dem Griechischen und bedeutet „gleiches Maß“, was darauf hindeutet, dass der Maßstab entlang jeder Achse der Projektion gleich ist (im Gegensatz zu einigen anderen Formen der grafischen Projektion ).
Eine isometrische Ansicht eines Objekts kann erhalten werden, indem die Betrachtungsrichtung so gewählt wird, dass die Winkel zwischen den Projektionen der x- , y- und z - Achse alle gleich oder 120° sind. Bei einem Würfel geschieht dies zum Beispiel, indem man zuerst direkt auf eine Seite schaut. Als nächstes wird der Würfel um ±45° um die vertikale Achse gedreht, gefolgt von einer Drehung um ungefähr 35,264° (genau arcsin 1 ⁄ √ 3 oder arctan 1 ⁄ √ 2 , was mit dem magischen Winkel zusammenhängt ) um die horizontale Achse. Beachten Sie, dass beim Würfel (siehe Bild) der Umfang der resultierenden 2D-Zeichnung ein perfektes regelmäßiges Sechseck ist: Alle schwarzen Linien haben die gleiche Länge und alle Flächen des Würfels haben die gleiche Fläche. Isometrisches Millimeterpapier kann unter ein normales Zeichenpapier gelegt werden, um den Effekt ohne Berechnung zu erzielen.
Auf ähnliche Weise kann eine isometrische Ansicht in einer 3D-Szene erhalten werden. Ausgehend von der parallel zum Boden und den Koordinatenachsen ausgerichteten Kamera wird diese zunächst wie oben vertikal (um die horizontale Achse) um ca. 35,264° gedreht, dann um ±45° um die vertikale Achse.
Eine andere Art, wie eine isometrische Projektion visualisiert werden kann, besteht darin, eine Ansicht innerhalb eines kubischen Raums zu betrachten, die in einer oberen Ecke beginnt und in Richtung der gegenüberliegenden, unteren Ecke blickt. Die x -Achse erstreckt sich diagonal nach unten und rechts, die y -Achse erstreckt sich diagonal nach unten und links, und die z -Achse verläuft gerade nach oben. Die Tiefe wird auch durch die Höhe auf dem Bild angezeigt. Entlang der Achsen gezogene Linien stehen in einem Winkel von 120° zueinander.
In all diesen Fällen, wie bei allen axonometrischen und orthografischen Projektionen , würde eine solche Kamera ein telezentrisches Objektraumobjektiv benötigen , damit sich die projizierten Längen nicht mit der Entfernung von der Kamera ändern.
Der Begriff "isometrisch" wird häufig fälschlicherweise verwendet, um sich allgemein auf axonometrische Projektionen zu beziehen. Es gibt jedoch tatsächlich drei Arten von axonometrischen Projektionen: isometrisch , dimetrisch und schräg .
Rotationswinkel
Von den zwei Winkeln, die für eine isometrische Projektion benötigt werden, mag der Wert des zweiten kontraintuitiv erscheinen und verdient eine weitere Erklärung. Stellen wir uns zunächst einen Würfel mit der Seitenlänge 2 und seinem Mittelpunkt im Achsenursprung vor, was bedeutet, dass alle seine Flächen die Achsen in einem Abstand von 1 vom Ursprung schneiden. Wir können die Länge der Linie von ihrem Mittelpunkt bis zur Mitte einer beliebigen Kante als √ 2 berechnen, indem wir den Satz des Pythagoras verwenden . Durch Drehen des Würfels um 45° auf der x -Achse wird der Punkt (1, 1, 1) daher zu (1, 0, √ 2 ), wie im Diagramm dargestellt. Die zweite Drehung zielt darauf ab, denselben Punkt auf die positive z -Achse zu bringen , und muss daher eine Drehung mit einem Wert gleich dem Arkustangens von 1 ⁄ √ 2 ausführen, der ungefähr 35,264° beträgt.
Mathematik
Es gibt acht verschiedene Ausrichtungen, um eine isometrische Ansicht zu erhalten, je nachdem, in welchen Oktanten der Betrachter blickt. Die isometrische Transformation von einem Punkt a x , y , z im 3D-Raum zu einem Punkt b x , y im 2D-Raum mit Blick in den ersten Oktanten kann mathematisch mit Rotationsmatrizen geschrieben werden als:
wobei α = arcsin(tan 30°) ≈ 35,264° und β = 45°. Wie oben erläutert, ist dies eine Drehung um die vertikale (hier y ) Achse um β , gefolgt von einer Drehung um die horizontale (hier x ) Achse um α . Darauf folgt dann eine orthographische Projektion auf die xy -Ebene:
Die anderen 7 Möglichkeiten erhält man, indem man entweder zu den gegenüberliegenden Seiten dreht oder nicht, und dann die Blickrichtung umkehrt oder nicht.
Geschichte und Grenzen
Das Konzept der Isometrie , das erstmals von Professor William Farish (1759–1837) formalisiert wurde , existierte in einer groben empirischen Form seit Jahrhunderten. Ab der Mitte des 19. Jahrhunderts wurde die Isometrie zu einem „unschätzbaren Werkzeug für Ingenieure, und bald darauf wurden Axonometrie und Isometrie in den Lehrplan von Architekturausbildungskursen in Europa und den USA aufgenommen.“ Laut Jan Krikke (2000) entstand jedoch „die Axonometrie in China . Seine Funktion in der chinesischen Kunst ähnelte der linearen Perspektive in der europäischen Kunst. Die Axonometrie und die damit verbundene Bildgrammatik haben mit dem Aufkommen des Visual Computing eine neue Bedeutung erlangt.
Wie bei allen Arten der Parallelprojektion erscheinen mit der isometrischen Projektion gezeichnete Objekte nicht größer oder kleiner, wenn sie sich näher zum Betrachter hin oder von ihm weg erstrecken. Dies ist zwar vorteilhaft für Architekturzeichnungen, bei denen Messungen direkt vorgenommen werden müssen, das Ergebnis ist jedoch eine wahrgenommene Verzerrung, da dies im Gegensatz zur perspektivischen Projektion nicht der normalen Funktionsweise des menschlichen Sehens oder der Fotografie entspricht. Es kann auch leicht zu Situationen kommen, in denen Tiefe und Höhe schwer abzuschätzen sind, wie in der Abbildung rechts gezeigt. Dadurch können scheinbar paradoxe oder unmögliche Formen entstehen , wie z. B. die Penrose-Treppe .
Verwendung in Videospielen und Pixelkunst
Isometrische Videospielgrafiken sind Grafiken, die in Videospielen und Pixelkunst verwendet werden , die eine Parallelprojektion verwenden , aber den Blickwinkel so winkeln , dass Facetten der Umgebung sichtbar werden, die sonst aus einer Top-Down-Perspektive oder Seitenansicht nicht sichtbar wären , wodurch eine Drei entsteht -dimensionale Wirkung . Trotz des Namens sind isometrische Computergrafiken nicht notwendigerweise wirklich isometrisch – dh die x- , y- und z - Achsen sind nicht notwendigerweise um 120° zueinander orientiert. Stattdessen werden verschiedene Winkel verwendet, wobei die dimetrische Projektion und ein Pixelverhältnis von 2:1 am gebräuchlichsten sind. Die Begriffe „ 3⁄4 - Perspektive“ , „ 3⁄4 - Ansicht “, „ 2,5D “ und „Pseudo- 3D “ werden manchmal auch verwendet, obwohl diese Begriffe in anderen Zusammenhängen leicht unterschiedliche Bedeutungen haben können.
Die isometrische Projektion, die einst üblich war, wurde mit dem Aufkommen leistungsfähigerer 3D-Grafiksysteme immer weniger , und als Videospiele begannen, sich mehr auf Action und einzelne Charaktere zu konzentrieren. Videospiele mit isometrischer Projektion – insbesondere Computer-Rollenspiele – haben jedoch in den letzten Jahren innerhalb der Indie-Gaming -Szene ein Wiederaufleben erlebt.