Humes Prinzip - Hume's principle

Humes Prinzip oder HP besagt, dass die Anzahl der F s der Anzahl der G s genau dann gleich ist, wenn zwischen den F s und den G s eine Eins-zu-Eins-Entsprechung (eine Bijektion) besteht . HP kann formal in Systemen der Logik zweiter Ordnung angegeben werden . Humes Prinzip ist nach dem schottischen Philosophen David Hume benannt und wurde von George Boolos geprägt .

HP spielt eine zentrale Rolle in der Philosophie der Mathematik von Gottlob Frege . Frege zeigt, dass HP und geeignete Definitionen arithmetischer Begriffe alle Axiome dessen beinhalten, was wir heute Arithmetik zweiter Ordnung nennen . Dieses Ergebnis ist als Freges Theorem bekannt , das die Grundlage für eine Philosophie der Mathematik bildet, die als Neologizismus bekannt ist .

Ursprünge

Humes Prinzip erscheint in Freges Grundlagen der Arithmetik (§73), die Zitate aus Teil III des Buches I von David Hume ‚s A Treatise of Human Nature (1740). Hume stellt dort sieben grundlegende Beziehungen zwischen Ideen dar. In Bezug auf einem von ihnen, Anteil in Menge oder Zahl , argumentiert Hume , dass unsere Argumentation über Anteil in der Menge, wie dargestellt durch Geometrie , kann nie „perfekte Präzision und Genauigkeit“ erreichen, da ihre Prinzipien von Sinnes Erscheinungsbild abgeleitet werden. Er kontrastiert dies mit dem Argumentieren über Zahlen oder Arithmetik , in denen eine solche Genauigkeit erreicht werden kann :

Algebra und Arithmetik [sind] die einzigen Wissenschaften, in denen wir eine Argumentationskette bis zu einem gewissen Grad an Kompliziertheit fortführen und dennoch eine vollkommene Genauigkeit und Sicherheit bewahren können. Wir besitzen einen genauen Maßstab, nach dem wir die Gleichheit und das Verhältnis der Zahlen beurteilen können; und je nachdem, wie sie diesem Standard entsprechen oder nicht, bestimmen wir ihre Beziehungen ohne die Möglichkeit eines Fehlers. Wenn zwei Zahlen so kombiniert werden, dass die eine immer eine Einheit hat, die auf jede Einheit der anderen antwortet, sprechen wir sie gleich aus ; und aus Mangel an einem solchen Maß an Gleichheit in der [räumlichen] Ausdehnung kann die Geometrie kaum als eine vollkommene und unfehlbare Wissenschaft angesehen werden. (I. III. I.)

Beachten Sie, dass Hume das Wort Zahl im alten Sinne verwendet, um eine Menge oder Sammlung von Dingen zu bedeuten, anstatt den gängigen modernen Begriff der "positiven ganzen Zahl". Der altgriechische Zahlbegriff ( Arithmos ) setzt sich aus einer endlichen Vielheit aus Einheiten zusammen. Siehe Aristoteles , Metaphysics , 1020a14 und Euklid , Elements , Book VII, Definition 1 und 2. Der Gegensatz zwischen dem alten und dem modernen Zahlenkonzept wird ausführlich in Mayberry (2000) diskutiert.

Einfluss auf die Mengenlehre

Das Prinzip, die Kardinalzahl durch eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zu charakterisieren, wurde zuvor von Georg Cantor , dessen Schriften Frege kannte , mit großem Erfolg angewandt . Es wurde daher vorgeschlagen, das Hume-Prinzip besser "Cantor-Prinzip" oder "Das Hume-Cantor-Prinzip" zu nennen. Aber Frege kritisierte Cantor mit der Begründung, dass Cantor Kardinalzahlen durch Ordnungszahlen definiert , während Frege eine von den Ordnungszahlen unabhängige Charakterisierung von Kardinälen geben wollte. Cantors Standpunkt ist jedoch derjenige, der in zeitgenössische Theorien der transfiniten Zahlen eingebettet ist , wie sie in der axiomatischen Mengenlehre entwickelt wurden .

Verweise

  • Anderson, D. und Edward Zalta (2004) „Frege, Boolos, and Logical Objects“, Journal of Philosophical Logic 33 : 1–26.
  • George Boolos , "The Standard of Equality of Numbers" in George Boolos (Hrsg.), Bedeutung und Methode: Essays zu Ehren von Hilary Putnam (Cambridge Eng.: Cambridge University Press, 1990), S. 261–277.
  • George Boolos, 1998. Logik, Logik und Logik . Harvard-Uni. Drücken Sie. Vor allem Abschnitt II, "Frege Studies".
  • Burgess, John, 2005. Frege reparieren . Princeton-Uni. Drücken Sie.
  • Gottlob Frege , Die Grundlagen der Arithmetik .
  • David Hume . Eine Abhandlung über die menschliche Natur .
  • Mayberry, John P., 2000. Die Grundlagen der Mathematik in der Mengenlehre . Cambridge.

Externe Links