Faire Münze - Fair coin

Wenn eine faire Münze geworfen wird, sollte sie die gleiche Chance haben, auf beiden Seiten zu landen.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und -statistik wird eine Folge unabhängiger Bernoulli-Versuche mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 des Erfolgs bei jedem Versuch metaphorisch als faire Münze bezeichnet . Eine, für die die Wahrscheinlichkeit nicht 1/2 ist, wird als voreingenommene oder unfaire Münze bezeichnet . In theoretischen Studien wird die Annahme, dass eine Münze fair ist, häufig durch Bezugnahme auf eine ideale Münze getroffen .

John Edmund Kerrich durchgeführte Experimente in Münzwurf und festgestellt , dass eine Münze aus einer Holzscheibe über die Größe einer aus Krone und einseitig beschichtet mit Bleiköpfen gelandet (Holzseite nach oben) 679 mal von 1000. In diesem Experiment wird die Münze war Wirf es, indem du es auf dem Zeigefinger balancierst und es mit dem Daumen umlegst, so dass es sich etwa einen Fuß durch die Luft dreht, bevor es auf einem flachen Tuch landet, das über einem Tisch verteilt ist. Edwin Thompson Jaynes behauptete, dass, wenn eine Münze in der Hand gefangen wird, anstatt zu springen, die physische Vorspannung in der Münze im Vergleich zur Wurfmethode unbedeutend ist, bei der mit ausreichender Übung eine Münze hergestellt werden kann, um die Köpfe 100 zu landen % der ganzen Zeit. Die Untersuchung des Problems der Überprüfung, ob eine Münze fair ist, ist ein etabliertes pädagogisches Instrument im Statistikunterricht .

Rolle im statistischen Unterricht und in der Theorie

Die probabilistischen und statistischen Eigenschaften von Münzwurfspielen werden häufig als Beispiele sowohl in einführenden als auch in fortgeschrittenen Lehrbüchern verwendet. Diese basieren hauptsächlich auf der Annahme, dass eine Münze fair oder "ideal" ist. Zum Beispiel verwendet Feller diese Basis, um sowohl die Idee des zufälligen Gehens einzuführen als auch um Homogenitätstests innerhalb einer Beobachtungssequenz zu entwickeln, indem die Eigenschaften der Läufe identischer Werte innerhalb einer Sequenz untersucht werden. Letzteres führt zu einem Lauftest . Eine Zeitreihe, die aus dem Ergebnis des Werfens einer fairen Münze besteht, wird als Bernoulli-Prozess bezeichnet .

Faire Ergebnisse aus einer voreingenommenen Münze

Wenn ein Cheat eine Münze geändert hat, um eine Seite einer anderen vorzuziehen (eine voreingenommene Münze), kann die Münze dennoch für faire Ergebnisse verwendet werden, indem das Spiel leicht geändert wird. John von Neumann gab das folgende Verfahren:

  1. Wirf die Münze zweimal.
  2. Wenn die Ergebnisse übereinstimmen, beginnen Sie von vorne und vergessen Sie beide Ergebnisse.
  3. Wenn sich die Ergebnisse unterscheiden, verwenden Sie das erste Ergebnis und vergessen Sie das zweite.

Der Grund, warum dieser Prozess zu einem fairen Ergebnis führt, ist, dass die Wahrscheinlichkeit, Kopf und dann Schwanz zu bekommen, gleich der Wahrscheinlichkeit sein muss, Schwanz und dann Kopf zu bekommen, da die Münze ihre Vorspannung zwischen den Flips nicht ändert und die beiden Flips unabhängig sind. Dies funktioniert nur, wenn das Erhalten eines Ergebnisses bei einem Versuch die Tendenz bei nachfolgenden Versuchen nicht ändert, was bei den meisten nicht formbaren Münzen der Fall ist (jedoch nicht bei Prozessen wie der Pólya-Urne ). Indem die Ereignisse von zwei Köpfen und zwei Schwänzen durch Wiederholen des Vorgangs ausgeschlossen werden, bleiben dem Münzflipper die einzigen zwei verbleibenden Ergebnisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit übrig. Diese Prozedur funktioniert nur, wenn die Würfe richtig gepaart sind. Wenn ein Teil eines Paares in einem anderen Paar wiederverwendet wird, kann die Fairness ruiniert werden. Außerdem darf die Münze nicht so voreingenommen sein, dass eine Seite eine Wahrscheinlichkeit von Null hat .

Diese Methode kann erweitert werden, indem auch Sequenzen von vier Würfen berücksichtigt werden. Das heißt, wenn die Münze zweimal geworfen wird, die Ergebnisse jedoch übereinstimmen und die Münze zweimal geworfen wird, die Ergebnisse jedoch jetzt für die gegenüberliegende Seite übereinstimmen, kann das erste Ergebnis verwendet werden. Dies liegt daran, dass HHTT und TTHH gleich wahrscheinlich sind. Dies kann auf eine beliebige Potenz von 2 erweitert werden.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Kerrich, John Edmund (1946). Eine experimentelle Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie . E. Munksgaard.
  2. ^ Jaynes, ET (2003). Wahrscheinlichkeitstheorie: Die Logik der Wissenschaft . Cambridge, Großbritannien: Cambridge University Press. p. 318. ISBN   9780521592710 . Archiviert vom Original am 05.02.2002. Jeder, der mit dem Gesetz der Erhaltung des Drehimpulses vertraut ist, kann nach einiger Übung beim üblichen Münzwurfspiel schummeln und seine Schüsse mit 100-prozentiger Genauigkeit abfeuern. Sie können jede gewünschte Häufigkeit von Köpfen erhalten; und die Tendenz der Münze hat überhaupt keinen Einfluss auf die Ergebnisse! CS1-Wartung: Bot: ursprünglicher URL-Status unbekannt ( Link )
  3. ^ Feller, W (1968). Eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen . Wiley. ISBN   978-0-471-25708-0 .
  4. ^ von Neumann, John (1951). "Verschiedene Techniken, die in Verbindung mit zufälligen Ziffern verwendet werden". National Bureau of Standards Angewandte Mathematik-Reihe . 12 : 36.

Weiterführende Literatur