Fehleranalyse (Mathematik) - Error analysis (mathematics)

In der Mathematik ist die Fehleranalyse die Untersuchung von Art und Menge von Fehlern oder Unsicherheiten, die in der Lösung eines Problems vorhanden sein können. Dieses Problem ist besonders in angewandten Bereichen wie der numerischen Analyse und Statistik von Bedeutung .

Fehleranalyse in der numerischen Modellierung

Bei der numerischen Simulation oder Modellierung realer Systeme befasst sich die Fehleranalyse mit den Änderungen in der Ausgabe des Modells, wenn die Parameter des Modells um einen Mittelwert variieren .

Zum Beispiel in einem System, das als Funktion von zwei Variablen modelliert wurde . Die Fehleranalyse beschäftigt sich mit der Fortpflanzung der numerischen Fehler in und (um Mittelwerte und ) zu Fehler in (um einen Mittelwert ). ${\displaystyle \scriptstyle z\,=\,f(x,y)}$${\displaystyle \scriptstyle x}$${\displaystyle \scriptstyle y}$${\displaystyle \scriptstyle {\bar {x}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\bar {y}}}$${\displaystyle \scriptstyle z}$${\displaystyle \scriptstyle {\bar {z}}}$

In der numerischen Analyse umfasst die Fehleranalyse sowohl die Vorwärtsfehleranalyse als auch die Rückwärtsfehleranalyse .

Fehleranalyse weiterleiten

Die Vorwärtsfehleranalyse beinhaltet die Analyse einer Funktion, die eine Annäherung (normalerweise ein endliches Polynom) an eine Funktion ist , um die Grenzen des Fehlers in der Annäherung zu bestimmen; dh so zu finden , dass . Die Auswertung von Vorwärtsfehlern ist in validierten Numeriken erwünscht . ${\displaystyle \scriptstyle z'=f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n})}$${\displaystyle \scriptstyle z\,=\,f(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle \scriptstyle \epsilon}$${\displaystyle \scriptstyle 0\,\leq \,|z-z'|\,\leq \,\epsilon }$

Rückwärtsfehleranalyse

Die Rückwärtsfehleranalyse beinhaltet die Analyse der Näherungsfunktion , um die Grenzen der Parameter so zu bestimmen, dass das Ergebnis . ${\displaystyle \scriptstyle z'\,=\,f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n})}$${\displaystyle \scriptstyle a_{i}\,=\,{\bar {a_{i}}}\,\pm \,\epsilon _{i}}$${\displaystyle \scriptstyle z'\,=\,z}$

Die Rückwärtsfehleranalyse, deren Theorie von James H. Wilkinson entwickelt und populär gemacht wurde , kann verwendet werden, um festzustellen, dass ein Algorithmus, der eine numerische Funktion implementiert, numerisch stabil ist. Der grundlegende Ansatz besteht darin, zu zeigen, dass das berechnete Ergebnis zwar aufgrund von Rundungsfehlern nicht genau richtig ist, aber die genaue Lösung für ein naheliegendes Problem mit leicht gestörten Eingabedaten ist. Wenn die erforderliche Störung klein ist, in der Größenordnung der Unsicherheit in den Eingabedaten, dann sind die Ergebnisse in gewisser Weise so genau, wie es die Daten "verdienen". Der Algorithmus wird dann als rückwärts stabil definiert . Stabilität ist ein Maß für die Empfindlichkeit gegenüber Rundungsfehlern eines gegebenen numerischen Verfahrens; Im Gegensatz dazu gibt die Bedingungszahl einer Funktion für ein gegebenes Problem die inhärente Empfindlichkeit der Funktion gegenüber kleinen Störungen in ihrer Eingabe an und ist unabhängig von der zur Lösung des Problems verwendeten Implementierung.

Anwendungen

Global Positioning System

Die Analyse von Fehlern, die unter Verwendung des globalen Positionierungssystems berechnet wurden, ist wichtig, um die Funktionsweise von GPS zu verstehen und zu wissen, mit welcher Fehlergröße zu rechnen ist. Das Global Positioning System nimmt Korrekturen für Empfängertaktfehler und andere Effekte vor, aber es gibt immer noch Restfehler, die nicht korrigiert werden. Das Global Positioning System (GPS) wurde in den 1970er Jahren vom US-Verteidigungsministerium (DOD) entwickelt. Es wird sowohl vom US-Militär als auch von der Öffentlichkeit häufig für die Navigation verwendet.

Molekulardynamiksimulation

Bei Molekulardynamik (MD)-Simulationen treten Fehler aufgrund unzureichender Abtastung des Phasenraums oder selten auftretender Ereignisse auf, die durch zufällige Schwankungen in den Messungen zum statistischen Fehler führen.

Für eine Reihe von M Messungen einer schwankenden Eigenschaft A ist der Mittelwert:

${\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {1}{M}}\sum_{\mu=1}^{M}A_{\mu}.}$

Wenn diese M- Messungen unabhängig sind, beträgt die Varianz des Mittelwerts < A >:

${\displaystyle \sigma^{2}(\langle A\rangle)={\frac {1}{M}}\sigma^{2}(A),}$

In den meisten MD-Simulationen besteht jedoch eine Korrelation zwischen der Größe A zu verschiedenen Zeitpunkten, sodass die Varianz des Mittelwerts < A > unterschätzt wird, da die effektive Anzahl unabhängiger Messungen tatsächlich kleiner als M ist . In solchen Situationen schreiben wir die Varianz um:

${\displaystyle \sigma^{2}(\langle A\rangle)={\frac {1}{M}}\sigma^{2}A\left[1+2\sum _{\mu}\left( 1-{\frac{\mu}{M}}\right)\phi_{\mu}\right],}$

wo ist die Autokorrelationsfunktion definiert durch ${\displaystyle \phi_{\mu}}$

${\displaystyle \phi_{\mu}={\frac{\langle A_{\mu}A_{0}\rangle -\langle A\rangle^{2}}{\langle A^{2}\rangle - \langle A\rangle ^{2}}}.}$

Wir können dann die Autokorrelationsfunktion verwenden, um den Fehlerbalken zu schätzen . Glücklicherweise haben wir eine viel einfachere Methode, die auf Blockmittelung basiert .

Wissenschaftliche Datenüberprüfung

Messungen weisen im Allgemeinen einen kleinen Fehler auf, und wiederholte Messungen desselben Artikels führen im Allgemeinen zu geringfügigen Unterschieden in den Messwerten. Diese Unterschiede können analysiert werden und folgen bestimmten bekannten mathematischen und statistischen Eigenschaften. Sollte ein Datensatz der Hypothese zu treu erscheinen, dh der Fehlerbetrag, der normalerweise bei solchen Messungen auftreten würde, tritt nicht auf, kann auf eine Fälschung der Daten geschlossen werden. Eine Fehleranalyse allein reicht in der Regel nicht aus, um zu beweisen, dass Daten gefälscht oder fabriziert wurden, kann jedoch die erforderlichen Nachweise liefern, um den Verdacht auf Fehlverhalten zu bestätigen.

Siehe auch

• Fehleranalyse (Sprachwissenschaft)
• Fehlerleiste
• Fehler und Residuen in der Statistik
• Ausbreitung von Unsicherheit
• Validierte Zahlen

Verweise

Externe Links

• [1] Alles über Fehleranalyse.