Antisymmetrische Beziehung - Antisymmetric relation

In der Mathematik ist ein binäres Verhältnis auf einem Satz ist antisymmetrisch , wenn kein Paar ist ausgeprägter Elemente jeweils durch zusammenhängt zum anderes. Formal ist antisymmetrisch genau dann, wenn für alle

oder gleichwertig,
Die Definition der Antisymmetrie sagt nichts darüber aus, ob sie tatsächlich gilt oder nicht

Beispiele

Die Teilbarkeitsrelation auf den natürlichen Zahlen ist ein wichtiges Beispiel für eine antisymmetrische Relation. In diesem Zusammenhang bedeutet Antisymmetrie, dass jede der zwei Zahlen nur dann durch die andere teilbar ist, wenn beide tatsächlich dieselbe Zahl sind; äquivalent, wenn und verschieden sind und ein Faktor von dann nicht ein Faktor von sein kann Zum Beispiel ist 12 durch 4 teilbar, aber 4 ist nicht durch 12 teilbar.

Die übliche Ordnungsrelation auf den reellen Zahlen ist antisymmetrisch: wenn für zwei reelle Zahlen und beide Ungleichungen gilt und dann und muss gleich sein. In ähnlicher Weise ist die Teilmengenreihenfolge der Teilmengen einer gegebenen Menge antisymmetrisch: Gegeben zwei Mengen und wenn jedes Element in auch in ist und jedes Element in auch in dann und muss alle die gleichen Elemente enthalten und daher gleich sein:

Ein reales Beispiel für eine Beziehung, die typischerweise antisymmetrisch ist, ist "die Restaurantrechnung bezahlt" (verstanden als auf einen bestimmten Anlass beschränkt). Typischerweise zahlen einige Leute ihre eigenen Rechnungen, während andere für ihre Ehepartner oder Freunde bezahlen. Solange sich keine zwei Menschen gegenseitig die Rechnungen bezahlen, ist das Verhältnis antisymmetrisch.

Eigenschaften

Teil- und Gesamtordnungen sind per Definition antisymmetrisch. Eine Relation kann sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch sein (in diesem Fall muss sie koreflexiv sein ), und es gibt Relationen, die weder symmetrisch noch antisymmetrisch sind (zum Beispiel die "Beute auf"-Relation bei biologischen Arten ).

Antisymmetrie unterscheidet sich von Asymmetrie : Eine Relation ist genau dann asymmetrisch, wenn sie antisymmetrisch und unflexibel ist .

Siehe auch

Verweise

  • Weisstein, Eric W. "Antisymmetric Relation" . MathWorld .
  • Lipschütz, Seymour ; Marc Lars Lipson (1997). Theorie und Probleme der diskreten Mathematik . McGraw-Hill. P. 33 . ISBN 0-07-038045-7.
  • nLab antisymmetrische Beziehung