Die Akustiktheorie ist ein wissenschaftliches Gebiet, das sich auf die Beschreibung von Schallwellen bezieht . Sie leitet sich aus der Fluiddynamik ab . Siehe Akustik für den technischen Ansatz.
Für Schallwellen beliebiger Größe einer Störung in Geschwindigkeit, Druck und Dichte gilt
Für den Fall, dass die Fluktuationen in Geschwindigkeit, Dichte und Druck klein sind, können wir diese approximieren als
Wo ist die gestörte Geschwindigkeit des Fluids, ist der Druck des Fluids im Ruhezustand, ist der gestörte Druck des Systems als Funktion von Raum und Zeit, ist die Dichte des Fluids im Ruhezustand und ist die Varianz der Dichte von die Flüssigkeit über Raum und Zeit.
Für den Fall, dass die Geschwindigkeit drehungsfrei ist ( ), haben wir dann die akustische Wellengleichung, die das System beschreibt:
Wo haben wir
Ableitung für ein ruhendes Medium
Beginnend mit der Stetigkeitsgleichung und der Euler-Gleichung:
Nehmen wir kleine Störungen mit konstantem Druck und konstanter Dichte:
Dann sind die Gleichungen des Systems system
Da die Gleichgewichtsdrücke und -dichten konstant sind, vereinfacht sich dies zu
Ein sich bewegendes Medium
Beginnen mit
Wir können diese Gleichungen für ein sich bewegendes Medium arbeiten lassen, indem wir setzen , wo ist die konstante Geschwindigkeit, mit der sich die gesamte Flüssigkeit bewegt, bevor sie gestört wird (entspricht einem sich bewegenden Beobachter) und ist die Flüssigkeitsgeschwindigkeit.
In diesem Fall sehen die Gleichungen sehr ähnlich aus:
Beachten Sie, dass die Einstellung die Gleichungen im Ruhezustand zurückgibt.
Linearisierte Wellen
Ausgehend von den oben gegebenen Bewegungsgleichungen für ein ruhendes Medium:
Nehmen wir nun an , alles seien kleine Mengen.
Für den Fall, dass wir Terme erster Ordnung halten, geht für die Kontinuitätsgleichung der Term gegen 0. Dies gilt analog für die Dichtestörung mal der zeitlichen Ableitung der Geschwindigkeit. Außerdem gehen die Raumkomponenten der materiellen Ableitung gegen 0. Wir haben also bei Umordnung der Gleichgewichtsdichte:
Da unsere Schallwelle in einer idealen Flüssigkeit auftritt, ist die Bewegung als nächstes adiabatisch, und dann können wir die kleine Änderung des Drucks mit der kleinen Änderung der Dichte um . in Beziehung setzen
Unter dieser Bedingung sehen wir, dass wir jetzt
Definieren der Schallgeschwindigkeit des Systems:
Alles wird
Für irrationale Flüssigkeiten
Für den Fall, dass die Flüssigkeit drehungsfrei ist, das heißt , können wir unsere Bewegungsgleichungen schreiben und damit schreiben als and
Die zweite Gleichung sagt uns, dass
Und die Verwendung dieser Gleichung in der Kontinuitätsgleichung sagt uns, dass
Dies vereinfacht sich zu
Damit gehorcht das Geschwindigkeitspotential im Grenzfall kleiner Störungen der Wellengleichung. Die zur Lösung des Potentials erforderlichen Randbedingungen ergeben sich aus der Tatsache, dass die Geschwindigkeit des Fluids 0 senkrecht zu den festen Oberflächen des Systems sein muss.
Nehmen Sie die Zeitableitung dieser Wellengleichung und multiplizieren Sie alle Seiten mit der ungestörten Dichte und verwenden Sie dann die Tatsache, die uns sagt, dass
Das haben wir auch gesehen . Somit können wir die obige Gleichung entsprechend multiplizieren und sehen, dass
Somit gehorchen Geschwindigkeitspotential, Druck und Dichte alle der Wellengleichung. Außerdem müssen wir nur eine dieser Gleichungen lösen, um alle anderen drei zu bestimmen. Insbesondere haben wir
Für ein bewegtes Medium
Auch hier können wir die Kleinststörungsgrenze für Schallwellen in einem bewegten Medium ableiten. Wieder beginnend mit
Wir können diese linearisieren in
Für drehungsfreie Flüssigkeiten in einem bewegten Medium
Da wir das gesehen haben
Wenn wir die vorherigen Annahmen machen, dass die Flüssigkeit ideal und die Geschwindigkeit drehungsfrei ist, dann haben wir
Unter diesen Annahmen werden unsere linearisierten Schallgleichungen zu
Wichtig ist, da es sich um eine Konstante handelt, haben wir , und dann sagt uns die zweite Gleichung, dass
Oder nur das
Wenn wir nun diese Beziehung mit der Tatsache verwenden, dass wir neben der Aufhebung und Neuordnung von Termen zu
Wir können dies in einer vertrauten Form schreiben als
Diese Differentialgleichung muss mit den entsprechenden Randbedingungen gelöst werden. Beachten Sie, dass die Einstellung uns die Wellengleichung zurückgibt. Unabhängig davon haben wir beim Lösen dieser Gleichung für ein bewegtes Medium dann
Siehe auch
Verweise
-
Landau, LD; Lifschitz, EM (1984). Strömungsmechanik (2. Aufl.). ISBN 0-7506-2767-0.
-
Fetter, Alexander; Walecka, John (2003). Strömungsmechanik (1. Aufl.). ISBN 0-486-43261-0.